Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
\f(x)(px(x)dx = J/(x)(sinx-cosx)d!x =
Jl Jl
- J/(x)sinxdx- Jf(x)cosxdx= f2~f\ =0.
0 0
Если в уравнении (31) Я = Я2 = 2/л, то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда /,=-/2, т.е. когда функция f(x) ортогональна к <р2(х) на [0 ,л\.
Таким образом, при Л=\=-2/л уравнение (31) разрешимо только при случае /2 = /,, и тогда решение уравнения (31) определяется формулой
ф(х) = с, (sin х - cos х) + /(х) + Л1 /, sin х , (35)
когда Я=Яг = 2/л уравнение (31) разрешимо тогда и только тогда, когда /2 = —/ , и его решение задается формулой
ср(х) = с2 (sin х + cos х) + f{x) + Aj f sin x . (36)
Пусть, например, f(x) = 1. Тогда
Пf \Л *' \K
= jl • cost dt = sinM =0, f2 = Jl-sinfdf = -cos* =2,
0 0 0 0
следовательно, при Я = ±2/л неоднородное уравнение (31) с правой частью /(х) = 1 неразрешимо.
Пусть правая часть /(x) = sinx + cosx. Проверим условие ортогональности:
К к
J/(х) <рг (х) dx = J(sin х + cosx) (sin x - cos x)dx =
о 0
sin2x
= J(sin2x-cos2x)d!x = -Jcos2xd!x = --
= 0,
0
2
К К
\f{x)(p2(x)dx = J(sinx + cosx)(sinx + cosx)dx Ф 0.
о 0
Тогда на основании альтернативы Фредгольма неоднородное уравнение (31) с правой частью /(x) = sinx + cosx при Я = Я1 =-2/л разрешимо, а при
Х = Я2=2/л не имеет решения. В случае Я = Я1 =-21 л решение уравнения (31) с правой частью /(x) = sinx + cosx на основании формулы (35) находится по формуле
ср(х) = с, (sin х - cos х) + cos х .
Пусть /(x) = sin(2n + l)x, neN. В этом случае условие
ортогональности выполнено при Я = Я1 и Я = , так как
К К К
J/(x) <р^ (х) dx = |/(х) ср2 (х) dx = |8т(2п + 1)х-(8тх + со8х)<±с =
= Jsin(2« + l)x-sinxdx + Jsin(2«+ l)x-cosxdx = 0.
о о
Тогда решение неоднородного уравнения уравнения (31) с правой частью f(x) = sin(2« + 1)х , neN, при Я = Я, и Я = соответственно определяется из формул (35) и (36):
(р(х) = с, (sin* - cos*) + sin (2п + 1)jc ,
<р(х) = с2 (sin х + cos х) + sin (2п + 1)jc , где с, и с2 - произвольные постоянные, neN.
§ 6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма
1. Интегральные уравнения для резольвенты
В § 3 было показано, что интегральное уравнение
<p(x)-XjK(x,t)<p(t)dt = f(x) (1)
а
с произвольным непрерывным на квадрате D = {(x, t) | а < х, t<b} ядром K(x,t) и при любой правой части f(x)eC[a,b] имеет единственное непрерывное на [а, 6] решение <р(х), определяемое формулой
ь
(р(х) = f(x) + X\R(x, t,A)f(t)dt, (2)
а
для всех Я, удовлетворяющих условию
|Я|<1 /М(Ь-а), М =max.\K(x,t)\. (3)
Здесь в формуле (2) R(x, t, Я) - резольвента ядра К(х, t) .
Для интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром (см. § 5) были установлены основные теоремы Фредгольма о разрешимости таких уравнений. Оказывается, что эти теоремы переносятся на случай уравнения (1) с произвольным непрерывным ядром.
Для этого изучим структуру решения уравнения (1) при произвольном комплексном Я. Как было отмечено выше, что для всех Я, удовлетворяющих условию (3), единственное решение уравнения (1) определяется по формуле (2), где резольвента R(x, t, Я) находится как сумма ряда
R (х, t, Я) = X Яп~1Кп(x,t), (4)
Л = 1
где
ь
Kn(x,t)= \К(х, s)Kn^(s,t)ds , п = 2,Ъ,... . (5)
а
При этом ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на квадрате D, если Я
удовлетворяет условию (3). Как известно из § 3 итерации Kn(x,t) ядра К (х, t) определяются формулой
ь ь
Kn{x,t)=\...\K{x,sl)K{sl,s2)- ...-K(sn_,, t)dst ds2... ds,
a a
отсюда следует
Kn+P(x, t)= l Kn(x,s)Kp(s, t)ds . (6)
a
Из ряда (4) с учетом (6) имеем
R(x, t, Л) - К (х, t) = ЛК2(х, t) + А2К3(х, t)+ ... + Лп~1Кп(х, t) + ... =
ь ь
= А \Кх(х, s)Ki(s, t)ds + А2 \Кх(х, s)K2(s, t)ds + ... +
