Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 201

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 195 196 197 198 199 200 < 201 > 202 203 204 205 206 207 .. 283 >> Следующая

(A — A,)j(p(x)i//(x)dx = AA'l $К(х, t)<p(t)dt y/{x)dx-a a Va J
b fb \
— AA'j \K(t, x)if/(t)dt (p{x)dx.
a \a J
Второй интеграл правой части равен первому, так как если в нем переставим пределы интегрирования, получим первый интеграл. Итак,
(Л-Л') |<p(x)y/(x)dx - 0.
а
Отсюда при ЛфЛ' следует утверждение теоремы.
5. Интегральное уравнение Фредгольма в случае характеристического числа
Рассмотрим интегральное уравнение (1) в случае, когда Л является характеристическим числом. Пусть Л - характеристическое число и неоднородное интегральное уравнение (1) при этом Л имеет непрерывное на [а, Ь~\ решение <р(х). Умножим обе части уравнения (1) на какое-либо решение ц/(х) союзного однородного интегрального уравнения (33) и проинтегрируем по х:
j (р(х)у/ (x)dx- jf (x)i//(x)dx+ f
Л \K(x,t)<p(t)dt
y/(x)dx =
= \f(x)v(x)dx+ |
Л (x,t)if/(x)dx
<p(t)dt.
Отсюда пользуясь равенством (33), получим
j <p(x)\f/(x)dx = j/ (x)if/(x)dx+ \y/(t)q>(t)dt
или
I f(x)y/(x)dx = 0.
(43)
Итак, для разрешимости уравнения (1) необходимо, чтобы правая часть f (х) удовлетворяла условию (43), где ц/(х) - любое решение однородного союзного уравнения (33). Теперь покажем, что условие (43) является достаточным для разрешимости уравнения (1). Пусть выполнено условие (43). Рассмотрим новое неоднородное интегральное уравнение
ь
<p(x) = f(x) + A \L(x, t)cp(t)dt, (44)
а
где ядро L(x,t) определяется по формуле (38). Выше было показано (см. следствие из теоремы 7), что Л не является характеристическим числом ядра L(x, t), поэтому по первой теореме Фредгольма уравнение (44) имеет решение ср(х). С учетом формулы (38) перепишем уравнение (44) в виде
Ь т __ b ____
<р(х) = f (х) + Л \К(х, t)(p(t)dt -Л^у/{(х) J(р{ {t)(p(t)dt. (44,)
а * = 1 а
Умножая обе части уравнения (44^ на решение у/к(х) союзного интегрального уравнения (33) и интегрируя по х, получим
ь
j<p(x)i//k(x)dx= jf(x)i//k (x)dx + J
Л \K(x, t)if/k (x)dx
m b ----------- b __
M(0<P(t)dt \y/.(x)y/k{x)dx .
, = 1 я я
Отсюда с учетом условий (43), (33) и ортогональности системы функций (35) найдем
ь __ ____
J (рк (t) <p(t) dt = 0 , к = 1, т .
а
Тогда уравнение (44^ или, что тоже самое, уравнение (44) сводится к уравнению (1), т.е. решение ср{х) интегрального уравнения (44) является и решением интегрального уравнения (1), тем самым достаточность условия (43) доказана.
Таким образом, если условие (43) выполнено, то неоднородное
интегральное уравнение (1) разрешимо, все его решения представляют собой
сумму какого-либо частного решения <р0(х) интегрального уравнения (1) и общего решения соответствующего однородного интегрального уравнения (26):
т
<Р (*) = <Ро W + X с, <Pi (*) - (45)
/=1
где с,. - произвольные постоянные, <Pj(x), i = l,m - линейно независимые решения однородного интегрального уравнения (26), т.е. собственные функции ядра К (х, t), соответствующие характеристическим числам Л ранга т.
Решение (р0(х) может быть построено при помощи резольвенты ядра L(x, t). Следовательно, нами доказана следующая
Теорема 9. Если Л есть характеристическое число ядра К (х, t), то для разрешимости интегрального уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы его правая часть f (х) удовлетворяла условию (43), где
у/{х) = у/к{х), к = \,т, и {\jJk (х)} представляет полную систему собственных функций союзного интегрального уравнения (33),
соответствующих характеристическим числам Л ранга т. Если условие (43) выполнено, то интегральное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой (45).
На основании приведенных выше исследований приходим к следующим утверждениям Фредгольма для интегрального уравнения (1) с непрерывным ядром К (х, t).
Утверждение 1. Если Л не является характеристическим числом ядра K(x,t), то интегральное уравнение (1) и союзное с ним интегральное уравнение (32) однозначно разрешимы в классе С[а, Ь\ при любой правой части из С[а, Ь\. Соответствующие однородные интегральные уравнения (26) и (33) имеют при этом только нулевое решение.
Утверждение 2. Если Л является характеристическим числом ядра К (х, t), то соответствующее однородное интегральное уравнение и союзное с ним однородное интегральное уравнение имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений.
Предыдущая << 1 .. 195 196 197 198 199 200 < 201 > 202 203 204 205 206 207 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed