Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 202

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 283 >> Следующая

Утверждение 3. Если Л является характеристическим числом, то неоднородное интегральное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна ко всем решениям союзного однородного интегрального уравнения.
Утверждение 4. Во всякой ограниченной области комплексной плоскости (Л) может существовать лишь конечное число характеристических чисел интегрального уравнения (1).
Из этих утверждений Фредгольма вытекает следующая альтернатива : если однородное интегральное уравнение Фредгольма с непрерывным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное интегральное уравнение (1) имеет единственное решение в классе С[а, Ь] при любой правой части f(x)eC[a,b]; если же однородное интегральное уравнение имеет ненулевое решение, то неоднородное интегральное уравнение (1) в зависимости от правой части либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Первая часть альтернативы имеет место в случае, когда Л не является характеристическим числом, а вторая - в случае, когда Л является характеристическим числом иинтегрального уравнения (1).
6. Обобщение полученных результатов
Выше при изложении теории интегральных уравнений мы предполагали, что свободный член f(x) и ядро K(x,s) являются действительными и непрерывными функциями, где х \л s являются точками отрезка [а, Ь] числовой прямой R}. При этом было показано, что искомая функция (р(х) определяется в классе непрерывных на [а,Ь] функций.
1. Условие, что ядро K(x,s) и свободный член f(x) являются действительными, не существенно. Если они являются комплексными, то решение интегрального уравнения (1) будет комплексной функцией вещественного аргумента х.
2. В приложениях часто рассматриваемые задачи сводятся к интегральным уравнениям, в которых неизвестная функция зависит от многих переменных. Теория Фредгольма с естественными изменениями распространяется и на такие уравнения. Пусть дано уравнение
<р{Р)-Х \\...\K(P,Q)(p(Q)dD = f(P), (46)
D
в котором D - замкнутая измеримая область пространства Rn (n>2), Р и Q-точки области D, dD - элемент объема, K(P,Q) - ядро, определенное на DxD, (р(Р) - неизвестная функция, Л - данный числовой параметр. Для краткости в уравнении (46) п - кратный интеграл обозначают одним знаком интеграла. Тогда
<р(Р)-Л \K(P,Q)cp{Q)dD = f(P). (46')
D
Отметим, что в интегралах уравнений (46) и (46') интегрирование совершается по переменной точке Q, при этом точка Р остается неподвижной.
Если ядро K(P,Q) непрерывно на замкнутой области DxD и правая часть /(Р) непрерывна на D, то для уравнения (46') справедливы все
утверждения Фредгольма, полученные в п.5.
Часто приходится иметь дело (см. гл.5, §18) с интегральными уравнениями
вида
<р{Р) - Л\К(Р,Q)<p(Q)dS = f(P), (47)
s
где S - гладкая или кусочно-гладкая поверхность пространства R", dS -элемент площади поверхности S. Уравнение (47) просто сводится к уравнению вида (46). Для этого достаточно ввести параметрические уравнения поверхности
S и затем в качестве переменных ввести параметры S, определяющие положения точек Р и Q.
3. Рассмотрим теперь систему п интегральных уравнений относительно такого же числа искомых функций
<Р, О) -Л JZ К у (х, t) ср-, (0 dt = / (я) , (48)
а 7=1
где i = l,n, ядра Ky(x,t) непрерывны в основном квадрате a<x,t<b,
правые части fix) непрерывны на [а,Ь\. На систему уравнений (48)
полностью распространяется теория, развитая выше, т.е. справедливы все теоремы Фредгольма (см. [6, §17], [11, §14]). Система интегральных уравнений может быть составлена и из уравнений вида (46).
4. Требование непрерывности ядра K(x,t) в квадрате a<x,t<b можно ослабить, т.е. изложенная выше теория остается справедливой и при более общих предположениях относительно ядра, чем его непрерывность. Можно предположить, что K(x,t) ограничено и имеет конечное число точек и линий разрыва непрерывности на квадрате a<x,t<b, при этом линии разрыва имеют уравнение вида t = g(x), где функция g(x)eC[a,b\. Такие ядра называют регулярными. Отметим, что если ядро K(x,t) имеет разрыв вдоль
прямой х = х0 е [а, Щ (ядро нерегулярно), то и функция
ъ
u{x) = \K(x,t)y/it)dt (49)
а
будет, вообще говоря, иметь разрыв в точке х = х0 и при условии непрерывности функции i//(t) на [а, Ь\. Если ядро K(x,t) регулярно на a<x,t<b и функция i//(t) непрерывна на [а, Ь], то функция и(х), определенная интегралом (49), непрерывна на [а, Ь\. Докажем это. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда ядро K(x,t) имеет только одну линию разрыва t = g(x). Возьмем произвольную точку л:0 е (а,Ь) и пусть tQ = g(x0) . Выделим окрестность (лс0 -h,x0 +h) точки jc0, целиком лежащую в 480
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed