Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Тогда однородное интегральное уравнение с ядром K(x,t) имеет решения <р(х) = p(x) + iq(x) и (р{х) - p(x) — iq(x), соответствующие
характеристическим числам A = a + if5 и X = a-ifi ядра K(x,t). В силу
леммы 1 функции (р(х) и <р(х) должны быть ортогональными на [а, Ь], т.е.
ь _ ь ъ 2
\(р(х) <p(x)dx= \[р2 {х) + q2{хУ\с1х - J|^(x)] dx-0 .
а а а
Последний интеграл от неотрицательной функции p2(x) + q2(x) может равняться нулю только тогда, когда р(х) = q(x) = 0 , т.е. тогда и <р(х) = 0, чего не может быть.
Лемма 3. Итерированные ядра симметрического ядра симметрические. Доказательство. В самом деле, воспользуемся известной формулой
Kn+P(x,t)= jKn(x,s)Kp(s,t)ds. (7)
a
Отсюда при п = 1 и р = 1 имеем
ь ь
К2(х, t)= J AT (х, s)K (s, t)ds = J К (t, s) К (s, x)ds = K2{t, x).
a a
Доказав симметрию ядра K2(x,t) на основании формулы (7), приняв в ней п = 2 , р = 1, покажем симметрию К3(х, t) и т. д.
Лемма 4. У всякого симметрического не тождественно равного нулю ядра существует хотя бы одно характеристическое число.
Доказательство. Прежде всего покажем, что никакое повторное ядро не может быть тождественным нулем. Из формулы (7) следует, что если какое-либо повторное ядро Kn(x,t) ядра K(x,t) есть тождественный нуль, то и все
следующие за ним итерации Кп+р будут тождественно равны нулю. Пусть К2т
есть первое из итерированных ядер четного индекса, тождественно равное нулю. В силу формулы (7) имеем
ь ь
К2т{х,х)= \кт (х, s)Km (s, x)ds = J K2m (x, s) ds.
a a
Отсюда следует, что если К2т sO, то ядро Кт(х, 5) должно быть тождественным нулем. По условию Кх(х, t) = К (х, t) Ф 0, поэтому т> 1 и К2т не будет первым повторным ядром четного порядка, тождественно равным
нулю. Полученное противоречие показывает, что ни одна итерация не равна нулю тождественно.
Далее воспользуемся формулой (23) из § 6 :
П'(Л)
Ар = J Kp(t, t) dt, Ax = \K(t,t) dt.
a a
Ряд в правой части равенства (8) сходится для достаточно малых значений параметра Я. Покажем, что он не всюду сходится в случае симметрического ядра. Это будет означать, что левая часть (8) не является целой функцией. Поскольку И(Я) и О'(Я) являются целыми функциями, то отсюда будет следовать, что функция И(Я) обращается в нуль по крайней мере для одного значения параметра Я, т.е. это означает, что ядро К(х, t) имеет хотя бы одно
характеристическое число. Для исследования сходимости ряда (8) воспользуемся неравенством Коши - Буняковского (см. гл. 1, § 11, п. 5)
-|2
Ь Ь
J J Кп^{х, s)Kn+l(x, s)dx ds
а а Ь Ь
<
b Ъ
< J J К1_х(х, s)dx ds - J J K„+X(x, s)dx ds (9)
a a a a
и формулой (7), которая в силу симметрии повторных ядер при t — x примет вид
ь
Кп+Р(х, х)= \кп(х, s)Kp (х, s)ds.
а
Тогда неравенство (9) с учетом последнего равенства принимает вид
J К2п(х, x)dx
^ J К2n-l(X’ x)dx ¦ J K2n+l(X’ x)dx
или
^2л — ^2л-2 ^2л+2 '
(10)
Поскольку никакое повторное ядро Кп(х, t) не равно тождественно нулю, то
ь ь
А1п = JК2п(х, x)dx= J JК^(х, s)dxds > 0
а а а
при любом п > 1. Тогда неравенство (16) можно представить так:
*-2п+2
>
*2 п
^2п-2
Отсюда следует, что
2л+2
А2и
>
(11)
Теперь найдем отношение двух последовательных членов ряда (8) с нечетными степенями Я: Я1п+1А2п+2 и Я1п~1А1п, которое по модулю равно | Я f А2п+2/А2п.
В силу оценки (11) при \я\>л1а2/а4 исходное отношение
|2 А
Я
2п+2
>1.
Следовательно, при таких значениях Я общий член ряда (8) с нечетной степенью Я не стремится к нулю при и—»со. Таким образом, ряд (8)
расходится при | Я | > у/А2 /Д, . Отсюда следует, что данное ядро имеет хотя бы одно характеристическое число, которое принадлежит промежутку
тк
Замечание 1. Приведенное доказательство существования характеристического числа симметрического ядра дает одновременно способ вычисления данного характеристического числа, наименьшего по своей абсолютной величине.
Действительно, пусть Ад - искомое наименьшее по модулю характеристическое число. Тогда А2 является наименьшим характеристическим числом повторного ядра K2(x,t) (см. §6). В этом случае функция Фредгольма D2(fi) для ядра K2(x,t) будет удовлетворять равенству, аналогичному (8):
