Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 203

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 283 >> Следующая

[ia,b]\ при этом число h возьмем столь малым, чтобы при всех х е (х0 - h, х0 + К) было справедливо неравенство | g(x) -t0 | < ij , где ij -произвольное положительное число. На прямоугольниках
ядро K(x,t) непрерывно. По условию ядро K(x,t) ограничено на квадрате a<x,t<b, а функция y/(t) непрерывна на [а,Ь\, тогда существуют положительные постоянные М и L такие, что \K(x,t)\<M, \y/(t)\<L. Пусть s - произвольное положительное число. При х е (х0 -h,x0 + К) оценим разность
Выберем теперь число д из (О, К) так, чтобы при |jc-jc0|<? подынтегральные функции в интегралах Jx и J3 удовлетворяли неравенству: | K(x,t)-K(x0,t)\< s/3(b-a)L, что возможно в силу непрерывности ядра K(x,t) на прямоугольниках (50). Если принять rj = s/lAML , то из (51) и (52) получим | и(х) — и(х0)\<? . Следовательно, нами доказана
Теорема 10. Если правая часть /(х) интегрального уравнения (1) непрерывна на [a,b\, а ядро K(x,t) регулярно на квадрате a < х, t <Ь, то любое решение уравнения (1) непрерывно на [а, Ь\.
5. Рассмотрим уравнение (1) со слабой особенностью, т.е. в этом случае ядро имеет вид
где 0<а<1, Q(x,t) - непрерывная на квадрате D функция. На основании рассуждений, приведенных при доказательстве теоремы 6, можно показать, что уравнение (1) с ядром вида (53) эквивалентно интегральному уравнению с итерированным ядром
x0-h<x<x0+h, a<t <t0-2?] , t0 +2rj <t <b (50)
b
| u(x)-u(x0) | < L J | K(x,t)~K(x0,t) | dt
a
r'l0-2r; t0+2rj b ^
(51)
\ a *0 +2t? j
Интеграл J2 оценим так:
to+2rj
0 <J2<L f \ K(x,t)-K(x0,t)\ dt <8MLrj . (52)
t0-2rj
(53)
b
<p(x)-An f Кn(x,t)<p{t)dt = /„(x) ,
(54)
a
где
Кп(х, 0 = |АГ,(х, s)Kn_x(s, t)ds , ЛГ,(х, t) = К (х, t), п = 2,3,...,
а
fn О) = /„-1 (*) + ^ f К (х, 0 (О dt , /, (х) = /(х).
а
Действительно, пусть
К(х, О = , Цх, О = , (55)
\x-t\a \x-t\
где 0 < а,/3 < 1, Q(x,t) , H(x,t) непрерывны на квадрате а < х, t <b. Теперь
рассмотрим их композицию
М(Х,,) = ]к(Х,г)Цг,О* = J e(x-^T’t)d:,
х-г г —*
откуда
|АГ(х,г)?(г,0^^
(56)
(57)
где Cj = const > 0 и С, - в дальнейшем положительные постоянные. Пусть для
определенности a<t <х<Ъ . Интеграл в правой части (57) обозначим через / и разобьем его на три части
I = \(х-т)~а(1;-тур dr+ J (х-туа (т-typ dr +
a t
b
+ J (T-x)-a(T-t)-pdT = Il+I2+I3.
X
В интегралах It, i = 1,2,3, произведем замену т — t = (x-t)z. Тогда
J(1 -гГ(-г)-'4 =
(ci-t)l(x-l)
Сt-a)/(x-t)
= (X - o1-^ J(i + Z)““ z^rfz = (X - /;;
0
12 = (x - O1-0^ f (1 - 2)"“ Z^tfZ = (X - 12 ;
0
(b-t)j(x-t)
/3 = (x - O1-^ J 0 - 1Г“ dz =
1
(.b-x)j(x-t)
=(x - о-'-' fy- (i+jo-* dy=(* - < у—'’ .
В силу результатов п. 7 § 22 гл. 1
0
+ co ~P
T(\-P)T(a + p-\)
Г(«)
Г(1-а)Г(а + /7-1)
ПР)
1>ъ~ Sny .pdy=B(l-a’a+fi-l)=
о (1+ УГ
Отсюда видно, что интеграл Г2 сходится при всех а,Р< 1, интегралы 1[ и /' сходятся при всех а,р < 1 и а + р ф\. При а + Р = 1 интегралы /' и /' расходятся при x—>t. Чтобы выявить эту особенность оценим интеграл 1[ при а + Р = 1 и х—следующим образом:
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 11. Если ядра K(x,t) и L(x,t) имеют вид (55), то функция M(x,t), определенная интегралом (56), непрерывна на квадрате a < x,t <b, за исключением, быть может, диагонали х = t, где для нее справедлива оценка
Отметим, что для п - кратных интегралов справедлива аналогичная теорема, только в оценках (58) вместо a + р~ 1 надо поставить а + Р~п .
Из теоремы 11 следует, что итерированное ядро K2(x,t) (Р = а< 1) имеет особенность порядка 2а -1 = 1 - 2(1 - а) , если это число положительное; K2(x,t) имеет особенность порядка а + (2а-1)-1 = 1-3(1-а) и т.д. и при п достаточно большом число 1-и(1-а) будет отрицательным, так что ядро Kn(x,t) будет уже непрерывным на а < х, t < Ъ.
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed