Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
а а
Ь Ь
+ АлЧ \Кх(х, s)Kn_i(s, t)ds+ ... = Л \Кх(х, s)Kl(s, t)ds +
а а
Ь Ь
+ Л2 \К2(х, s)Kl(s, t)ds + ... + А"”1 ^Кп_х{х, s)Kl(s, t)ds+ ....
а 9 а
Отсюда с учетом (4) находим две формулы :
R(x,t, Л)-К(х, t) =
ь
= Л \Кх(х, s) [^(s, t) + AK2(s, t) + ... + Лп~2КлЧ(5, t) + ... ] ds =
а
Ь
= Л \Кх(х, s)R(s, t, A)ds ,
а
R(x,t, Л)-К(х, t) =
ь
= A J[ATj(x, s)+ ЛК2(х, s)+ ... +Лп~2Кп_1(х, s) + ... ] Kx(s, t)ds =
a
b
= A J R (x, s, A) KY (s, t) ds.
a
Итак, резольвента удовлетворяет двум интегральным уравнениям :
ь
R(x, t, А)-А \К(х, s)R(s, t, A)ds = К(х, t), (7)
а
b
R(x, t, Л)-Л jK(s, t)R(x, s, A) ds= К(x, t) . (8)
a
Сравним уравнения (7) и (8) с данным уравнением (1) и его союзным интегральным уравнением
y/(x)-A\K(t,x)y/(t)dt = g(x). (1*)
а
Если t считать фиксированным, то из уравнения (7) следует, что
461
резольвента R(x,t,X) как функция от х удовлетворяет уравнению (1), в котором правая часть: f(x) = K(x,t). Наоборот, если х считать
фиксированным, то резольвента R(x,t,X) как функция от t удовлетворяет союзному уравнению (1*), у которого правая часть : g(t) = K(x,t).
До сих пор мы определяли резольвенту только при значениях Я, удовлетворяющих неравенству (3). Оказывается резольвента существует на всей плоскости комплексного переменного Я, кроме не более чем счетного множества изолированных значений Я, и она для таких Я удовлетворяет уравнениям (7) и (8). Поэтому очень важно доказать существование и единственность решения уравнения (1) исходя только из уравнений (7) и (8).
Лемма. Если при некотором значении Я существует непрерывная на квадрате D функция R(x, t, Я), удовлетворяющая уравнениям (7) и (8), то уравнение (1) при этом значении Я имеет единственное непрерывное на [а, Ь] решение, которое определяется формулой (2).
Доказательство. Пусть при некотором Я существует непрерывная на D функция R(x, t, Я) , удовлетворяющая уравнениям (7) и (8) при этом значении Я. Покажем, что любое непрерывное на [а, Ь] решение <р(х) уравнения (1) при этом значении Я определяется формулой (2). Тем самым установим единственность решения уравнения (1) в классе С[а,Ь\. Пусть cp(s) -произвольное решение уравнения (1) из класса С[а,Ь\. Тогда уравнение (1) становится тождеством. Умножим обе части (1) на AR(x,s,A) и
проинтегрируем по s :
ь ь
Я s, A)cp(s)ds = A jR(x, s, A) f (s)ds +
a a
b ( b '
+ Я J Я s, Я)K(s, t)ds <p(t)dt. (9)
a V a J
В силу равенства (8)
ь
Я^(х, s, Я)K(s,t)ds = R(x,t, X)-K(x,t).
a
Тогда равенство (9) принимает вид
ь ь
Я s, X)cp(s)ds - Я JR(x, s, Я)/(s)ds +
а а
Ь Ь
+ Я t^)(p(t)dt-Я |K(x,t)<p(t)dt.
а а
Отсюда, сокращая подобные слагаемые, с учетом равенства (1) получим (2).
Далее покажем, что функция <р(х), определенная формулой (2), действительно удовлетворяет уравнению (1) при наличии равенств (7). Подставляя правую часть (2) в уравнение (1), имеем
462
или
A jR(x,t,A) f(t)dt-A j K(x,t) f(t)dt-A2 ^K(x,t) jR(t,s,A) f(s)dsdt = 0.
a a a a
В двойном интеграле, меняя порядок интегрирования, получим
ь ь
A ^[R(x,t,A)~K(x,t)-A JK(x,s)R(s,t,A)ds]f(t)dt = 0.
a a
Последнее равенство в самом деле имеет место, так как в силу равенства (7) выражение в квадратной скобке тождественно равно нулю. Лемма доказана.
2. Аналитическое продолжение резольвенты
Резольвента нами определена только в круге |Я | <1 /М{Ъ-а) плоскости комплексного переменного Я. Далее покажем, что она может быть аналитически продолжена на всю плоскость (Я) (см. гл.1, § 23, п.6), что ее особыми точками могут быть только полюсы, и при всех Я, кроме полюсов, она удовлетворяет уравнениям (7) и (8). Для этого построим такую целую функцию D(A), что при умножении ряда (4) на D(A) получим также целую функцию D(x,t,A) от Я. Тогда резольвента определится как отношение двух целых функций от Я:
