Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство неравенства (13) приводится в курсе алгебры, но очень интересное доказательство этого неравенства с применением теории условного экстремума дано в [ 9, с. 46 ]. В частности, если в определителе А все элементы удовлетворяют условию |a... \ < М , то из оценки (13) следует
|Д| <Mnn2 . (14)
В формуле (11) под знаком интеграла стоит определитель порядка р, каждый элемент которого K(ti,tk) по модулю не превышает положительного числа М . Тогда из (11) с учетом оценки (14), получим
п
\dn | <п2[Мф-а)]п.
Таким образом, степенной ряд (12) оценивается рядом положительных
чисел
+м \А Г -
1 +? i±Lп2\м(Ь-а)Г .
п = 1 Л !
Последний ряд сходится при любом А. Чтобы это показать достаточно воспользоваться признаком Даламбера. Взяв отношение последующего члена к предыдущему, получим
л+1 „
А\ (л + 1) 2 , \А\Мф — а)
Мф-а) =
«У
2
Данное отношение стремится к нулю при п —> +оо, так как следующий предел конечен :
lim
i+l
И-> + со ^ п J
Тем самым показали, что функция D(A), определенная рядом (12), является целой функцией.
Покажем теперь, что произведение целой функции D(A) на ряд (4), выражающий значение резольвенты, есть также целая функция от А. Пусть D(x, t, А) - ряд относительно А, полученный от умножения рядов (4) и (12). По
аналогии с разложением D(A) напишем это произведение в виде
+ со ор
D(x, t, A) = R(x, t, A) D{A) = K(x, 0 + Z (_1)P — d (x, t) ¦ (15)
P=i p\
Коэффициенты dp(x,t) ряда (15) непосредственно выражаются через ядра K(x,t), K2(x,t), ... и через коэффициенты dp ряда (12). Проще найти выражение для dp(x,t), если воспользоваться уравнением (7) для
резольвенты. Умножая обе части уравнения (7) на функцию D(A) , получим
ь
D(x, t, А) = К(х, t)D(A) + A j К (х, s)D(s, t, A)ds. (16)
а
Подставляя в (16) вместо D(A) и D(x, t, А) соответствующие ряды (12) и (15)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я, получим рекуррентное соотношение
dp О, t) = K(x,t)dp-p\K (х, s)dp_l(s, t) ds ,
(17)
где р = 1,2,... , d0(x,t) = K(x,t). Полагая в равенстве (17) р = 1, с учетом обозначения (10) будем иметь
ь ь
dx (х, t) = К{х, t) \K(tx, tx)dtx -\K(x, tl)K{tl, t)dt{ =
K(x,t) K(x,tx) K(tltt) ?(*,,*,)
Из формулы (17) в силу (18) при р = 2 имеем:
= 1
dl, = j К
Г X tУ Kt txj
dtx.
(18)
ь ь
d2(x, t) = К(х, t) j j ¦2j jK(x,l,)
K(x,t) K(x,t{)
К(tx, t) К(tx, t2)
К(t2, t) K(t2,t2)
Можно далее показать, что при любом натуральном р справедливо равенство
ь ь
dt, dt2 = j j
dt2 —
b b Cx tx t2^
dtx dt
2 ¦
b b
X t J t2
*2
dtdt0...dt .
i i p
(19)
p /
Применяя к определителю, входящему в формулу (19), неравенство Адамара (13), точнее оценку (14), получим
р+1
| dp(x,t)\<(p + l) 2 Mp+l (b - а)р.
Отсюда, точно так же, как и в случае ряда (12), следует, что ряд (15) сходится при любом Я, т.е. функция D(x,t,A) является целой функцией от Я. При этом ряд (15) при любом Я сходится абсолютно и равномерно относительно (x,t) на квадрате D. Поэтому сумма D(x,t,A) ряда (15) непрерывна по переменным (х, t) на квадрате D.
Принимая во внимание справедливость равенства R (.х, t, Я) D (Я) = D (.х, t, Я) при условии (3), мы можем написать при этих значениях Я равенство
D (х, t, Я)
R(x, t, Я) =
D(A)
(20)
Правая часть формулы (20) дает аналитическое продолжение R(x, t, Я) на всю
комплексную плоскость (Я) и показывает, что она есть дробная функция от Я.
Укажем некоторые следствия из приведенных выше формул. Из (11) и (19) следует
dP+i = \dp(t, t)dt. (21)
a
Исходя из формул (21) и (17) можно достаточно просто вычислить коэффициенты dp и dp(x,t) рядов (12) и (15). Действительно, полагая в (21)
р = О с учетом того, что d0(x,t) = K(x,t), получим из этой формулы dx. Затем из формулы (17) при р = 1 найдем dx(x, t) . После чего формула (21) при р = 2 даст нам d2, затем формула (17) при р = 2 даст d2(x, t) и т.д.
