Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
a
Будем считать, что системы (34) и (35) являются ортонормированными. Предположим, что т <п. Составим новое ядро
L(x,t) = K(x,t)-Yt<Piit)y/i{x) (38)
i = 1
и рассмотрим два союзных интегральных уравнения :
ь
<р(х) = Л \ L(x,t)<p(t)dt, (39)
а
Ь
у/(х) = Л \L(t,x)y/(t)dt. (40)
а
На основании (38) интегральные уравнения (39) и (40) перепишем в следующем виде:
b т ___ b _____
<р(х) = Л]К (х, t) (p{t)dt- XY, Wi (x) | <Pi (О V (0 dt, (39-1)
a i = 1 я
b m ___ b _____
if/(x) = Л\K(x,t)if/(t)dt-Л^ (p;(x) ¦ (40,)
a i = 1 a
Пусть <p(x) - любое решение интегрального уравнения (39^. Умножим обе части (39^ на ц/к(х), где к - какое-либо из чисел 1,2и
проинтегрируем по х от а до Ъ:
ъ ь ( ь \
\(p(x)if/k(x)dx= | Л\K(x,t)if/k(x)dx (p(t)dt-
а а \ a J
т b __ b
\<p,{t)<p{t)dt j^i(x)t//k(x)dx .
(= 1 а а
С учетом равенства (40) и ортонормированности системы функций (35) из последнего равенства имеем
Ь b ь _
I <р О) (x)dx=\ у/к (0 <р (0 dt - Л | <рк (0 <р (0 dt.
а а а
Отсюда поскольку ЛфО следует
\(pk{t)(p{t)dt = 0, к = \,т. (41)
а
Из (41) видно, что всякое решение интегрального уравнения (39,) ортогонально к функциям системы (34). В силу полученных равенств (41) уравнение (39^ принимает вид
ь
q>(x) = Л |K(x,t)cp(t)dt.
а
Отсюда следует, что всякое решение уравнения (39^ удовлетворяет уравнению (26). Поскольку ср(х) является решением интегрального уравнения (26) и функция ф(х) ортогональна всем функциям системы (34), то <р(х) является линейной комбинацией (34):
т
<P(x) = Yci(Pi(x)- (42)
i' = l
Теперь покажем, что все коэффициенты с(. = 0. Для этого умножим обе
части (42) на <рк (х) и проинтегрируем по х :
^ -- m ^ -
(*)<** = Е ^ М W % (*)<& •
а * = 1 а
Отсюда в силу ортогональности системы (34) и условий (41) получим ск= О,
к = 1,т. Тогда из (42) вытекает, что <р{х) = 0, т.е. однородное интегральное
уравнение (39) имеет нулевое решение. При этом союзное интегральное уравнение (40) имеет ненулевое решение, чего быть не может. Действительно, полагая в уравнении (40^ ц/(х) = у/к(х), где к>т, и пользуясь
ортогональностью системы (35), получим равенство
ь
iyk(x) = A\K(t,x)iyk (t)dt,
а
которое в силу (37) является верным. Итак, мы показали, что однородное интегральное уравнение (39) имеет только нулевое решение, а союзное с ним уравнение (40) имеет ненулевые решения, следовательно, случай т < п невозможен. Аналогично доказывается, что и случай т > п невозможен, поэтому т = п , что и требовалось доказать.
Следствие. Однородные интегральные уравнения (39) и (40) имеют только нулевое решение, т.е. Л не есть характеристическое число ядра L (х, t).
Теорема 8. Если решения (р(х) и Ц>{х) однородных интегральных уравнений (26) и (33), союзных к друг другу, соответствуют различным характеристическим числам, то они ортогональны в том смысле, что
ь
J tp(x)y/(x)dx = 0.
a
Доказательство. Пусть Л и Л' - различные характеристические числа и <р(х) и у/(х) - соответствующие им решения интегральных уравнений (26) и (33):
ь ь
<р(х) = Л JK(x,t)(p(t)dt, у/(х) = Л' \K(t,x)y/(t)dt.
a a
Умножая первое из них на Л'у/(х), второе на Лф(х), интегрируя полученные
равенства по х в пределах от а до b , получим
ь ь (ь \
