Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
В формуле (15) положим x = t и проинтегрируем по t. Тогда с учетом формулы (21) получим
Ь +00 ylP
\D(t, и Л) <* = <*, +ЕНГ—
а Р-1 Р •
Отсюда в силу (12)
Введем обозначения
Ар~\Кр({’ ^dt’ = Iк(*> dt ¦
а а
Числа Ар обычно называют следами повторных ядер Kn(x,t), п = 1,2,... .
Тогда на основании формул (22), (20) и (4) будем иметь
ь +«,
= \R(tJ,X)dt=Y.^r. (23)
и(Л) а л-0
Отсюда в силу условия ?)(0) = 1 получим
, . , Я2 А3 ^
А. Л+А2 —vA^ —н...
1 2 9 3 -5
D{X) = e v (24)
Отметим, что формулы (23) и (24) применимы только в том случае, когда |Я| меньше модуля наименьшего из корней уравнения D(A) = 0. Но если правую часть формулы (24) разложить в ряд по степеням Я (пользуясь обычным разложением ez), то в силу единственности разложения мы придем к ряду (12),
и, следовательно, коэффициент при Ар в этом ряду есть многочлен относительно следов А1, А2,Ар.
3. Интегральное уравнение Фредгольма при любом Я
Характеристическое число и собственная функция ядра
Рассмотрим интегральное уравнение (16), которое получилось из умножения уравнения (7) на функцию D(A). Уравнения (7) и (8) были нами получены при условии (3). В силу принципа аналитического продолжения, если две целые функции совпадают в некотором круге комплексной плоскости (Я) (см. гл. 1, §23, п. 6), то они совпадают и на всей комплексной плоскости (Я).
468
Деля обе части уравнения (16) на функцию D(X) , мы получим, что резольвента удовлетворяет уравнению (7) при любых значениях Я, где -0(Я)*0.
, Аналогично на основании принципа аналитического продолжения убедимся в том, что резольвента удовлетворяет и уравнению (8) при всех Я, для которых D(X) Ф 0. Тогда на основании леммы из п.1 имеем следующее утверждение.
Теорема 1. Если Я не является корнем уравнения D(X) = 0, то интегральное уравнение (1) при любой правой части /(x) е C[a, Ь] имеет единственное непрерывное на [ а, Ь] решение <р(х), и это решение ; выражается формулой (2), где R(x,t, Я) определяется соотношением (20).
Пусть существует такое значение Я = Я0, при котором D(X0) = 0. Может оказаться, что Я0 является нулем функции D(x,t,X) при любых (х, t) из
квадрата D. Оказывается, что кратность этого нуля в числителе равенства (20) всегда ниже его кратности в знаменателе. Отсюда будет вытекать, что всякий корень уравнения D(X) = 0 является полюсом для резольвенты, т.е. при
Я = Я0 резольвента обращается в бесконечность.
Теорема 2. Всякий корень Я0 уравнения D(A) = 0 является полюсом резольвенты.
Доказательство. Пусть Я0 есть корень уравнения D(X) кратности т,
т.е.
Л(Я) = (Я-Я0ГЯ(Я), А)(А))*0-
Отметим, что производная D'(X) имеет нуль кратности (т-1). Пусть Я0 является нулем функции D(x, t, Я) кратности к, т.е.
D(x, t, Х) = (Х-Х0)к D0(x, t, Я), (25)
где D0 (х, t, Я) есть ряд по степеням Я — Я0, свободный член которого отличен
от нуля при некоторых значениях хм t. Подставляя (25) в формулу (22), получим
D'{X) = -(X-X0)k )D0(t, t, X)dt.
a
Левая часть этого равенства имеет нуль кратности (т -1), а в правой части уже
имеется множитель (Х-Х0)к и, кроме того, может случиться, что после
интегрирования по t выделится еще целая положительная степень Я - Я0. Это
приводит к неравенству к<т — 1, т.е. если Я = Я0 и является корнем
числителя дроби (20), то кратность этого корня в любом случае меньше к, поэтому вся дробь (20) имеет полюс, что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь однородное интегральное уравнение
ср(х)-Л JК(х, t)(p(t)dt = 0 . (26)
а
Это уравнение имеет очевидное решение <р(х) = 0. Если Л не является корнем уравнения D{/1), то по первой теореме Фредгольма решение <р(х) = 0 и оно единственное.
Теорема 3. Если Л0 является корнем уравнения D(/1) = 0, то
однородное интегральное уравнение (26) имеет решения, не равные тождественно нулю.
Доказательство. В силу теоремы 2 число Л0 является полюсом
резольвенты (20). Пусть это будет полюс кратности г. Тогда на основании
результатов теории функций комплексного переменного в окрестности точки
Л = Л0 резольвенту можно представить в виде
R(x,l,Z) = ^l± + J±^+...+!h<±lltRa(Xita), (27)
(Л-Л»У (Л-AJ- Я-Я0
где ar(x, t) не равен тождественно нулю на квадрате D, a R0(x,t,A) -
