Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
R(x, t, Я) = —,
?>(Я)
т.е. она является дробной или мероморфной функцией от Я. Если уравнение ?)(Я) = 0 не имеет корней, то резольвента есть целая функция от Я и ряд (4) сходится на всей комплексной плоскости (Я).
Для построения функции D(A) уравнения (1) рассмотрим как предел системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными, когда п —> +00 .
Разделим сегмент [а, Ь\ на п равных частей, длина каждой из них равна h = (b-a)/n. Введем обозначение для точек деления х; и для значений функций, входящих в уравнение (1), в этих точках :
? _ ____________________________________________________________
X/ = a + i----= a + ih, _/)=/(*,¦). <Pi=<P(xi)< Кц = K(xit х-), i,j = l,n.
п
Заменяя в (1) интеграл соответствующей суммой Римана, будем иметь приближенное равенство
ИХ) = /(*) +ЯZ К(х, х.)^Оу)/г,
7=1
которое дает возможность найти значения (рх, tp2,..., срп. Полагая здесь х = xt., где i принимает значения от 1 до и, получим систему п уравнений первой степени относительно неизвестных (рх,(р2,..., (рп:
(Pi=fi+^YJKiJ(pjh, i = l,n.
i,j=1
D(A) =
1 -AKnh -AK12h -AK2Ih 1 -AK22h
-AKlnh -AK2nh
-AKnlh -AKnlh
\-AKh
nn
который является общим знаменателем дробей - значений q)t, i = l,n. Далее
разложим Dn(A) по степеням А. Для упрощения запишем следующее обозначение, введенное Фредгольмом:
^Ji) к(х 1,У2) - К(Х1’У„)
К(х2 ,ух) К(х2,у2) ... К(х2,у„)
К
.Л У2
Уп
(10)
К{хп,ух) К{хп,у2) ... К(х„,у„) здесь переменная х1 входит во все элементы i - й строки и только в эти элементы, а переменная ук - во все элементы к - го столбца и только в них. Отсюда следует, что если поменять местами переменные xt и хк или переменные yt и ук, то определитель поменяет знак. Определитель не меняет своего значения от перестановки двух пар переменных (хг ,yt) и (хк,ук). Следовательно, не изменяя значения определителя, можно расставлять в нем п пар переменных (xt, ув произвольном порядке. В частности,
К
КХ1 Х2
KnJ
есть симметричная относительно переменных х19 х2, ... , хп функция.
При разложении Dn(A) найдем члены, содержащие Ар. Для этого возьмем всевозможные определители р- го порядка, полученные из Dn(A) вычеркиванием всех строк и столбцов, содержащих п - р произвольно выбранных элементов главной диагонали. Следовательно, коэффициент при {-A)php равен сумме определителей р - го порядка вида :
К
v
Ч 2 •"
но произведение этого определителя на hp есть один из элементов суммы, которая имеет своим пределом р - кратный интеграл :
ь ь
d„ = ! Ы*
dt. dt7 ...dt ,
(11)
pJ
где подынтегральная функция определяется равенством (10), при и-» + оо, и такой элемент в этой сумме встречается р\ раз, так как функция
К
V*. Х2
симметрична относительно хх, х2,..., хр. Тоже самое можно сказать о всех аналогичных определителях. Следовательно, при неограниченном возрастании п коэффициент при (—Х)р в многочлене Dn(X) имеет своим пределом число
— d . Таким образом, мы приходим к степенному ряду относительно Л:
Р'-
(12)
Р = 1
где dn - определяется формулой (11), при этом
dx = fK 1 dtx = j K(tl,tl)dtl.
a \J\ у a
Мы пришли к ряду (12) путем нестрогих соображений: Поэтому должны доказать два факта : во-первых, что ряд (12) сходится на всей комплексной плоскости (X), т.е. является целой функцией от X, и, во-вторых, при умножении ряда (4) на ряд (12) мы получим также целую функцию.
Найдем оценку коэффициентов dn. Для этого применим неравенство Адамара. Рассмотрим определитель
А =
а\\ а\2
а2\ а22
ал
‘2л
л2
и обозначим через сг. сумму квадратов элементов его i - й строки :
а/ = а\ + 4 + ... + а]п
Неравенство Адамара заключается в следующем:
IAI <<Ух<Уг- ¦¦¦¦<*„¦ (13)
