Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Будем считать, что функции а{ (х), так же как и функции ?>, (/). между собой линейно независимы на сегменте [а, 6], так как в противном случае, исключая линейно-зависимых, можно было бы уменьшить число слагаемых в сумме (2), также будем предполагать, что функции аДх) и bi (t) непрерывны на
[¦а,Ъ] при всех i = \,n. Тогда ясно, что ядро K(x,t) непрерывно в замкнутом квадрате D = {(x,t)\a<x<b, a<t<b}. Подставляя (2) в уравнение (1), имеем
<р(х) - ЛХ а,- О) \bi (t)(p(t)dt = f(x). (3)
i=t a
Пусть интегральное уравнение (3) имеет решение (р(х), непрерывное на \a,b\ Обозначим через
ь ____
Ъ = jb,(t)p(t)dt, i =l, 2,n = l,n , (4)
а
где с, — пока неизвестные действительные числа. С учетом (4) из равенства (3) получим
<р(х) = f(x) + ЛХ ciai (х) = f(x) + ЛХ с -а ¦ О). (5)
i=l 7=1
Для нахождения неизвестных су. равенство (5) поставим в (4): с,- = |/(0 Ь,- (0 dt + J Ь. (0 ЛХ CjCij (г) dt =
а а 7=1
= J/(0 bf (t) dt + ЛХ Cj \aj (t) bf (t) dt. (6)
a a
Положим
J/(0 (0 dt = fi , \(ij (t) b, (t) dt = ky,
a a
где i,7 = l,и. Тогда для неизвестных с(. получим систему линейных
алгебраических уравнений
с,.-ЛХ^су =/, г=1,«. (7)
7=1
Пусть система (7) имеет решение с,,с2,...,сл. Тогда, подставив эти значения с, в (5), найдем функцию <р{х), которая является решением
интегрального уравнения (3), в чем убеждаемся непосредственной проверкой. Если же система (7) неразрешима, то и уравнение (3) также неразрешимо. Следовательно, уравнение (3) и система линейных алгебраических уравнений (7) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (7) влечет за собой разрешимость уравнения (3) и наоборот.
Выпишем определитель системы (7): П(Л)
1 -Лки -Лкп —Лк1п ~ Л к21 \-Лк22 ... -Лк2п
-ЛкпХ -Лкп2 ... 1 -Лкш Определитель -D(A) представляет собой многочлен относительно параметра Л степени не выше п и отличен от нуля, так как D(0) = 1. Поэтому в силу основной теоремы алгебры уравнение D(X) = 0 имеет не более п различных корней; -D(A) называется определителем Фредгольма для уравнения (3), а корни уравнения ?>(А) = 0 называются характеристическими числами ядра K(x,t) или уравнения (3).
Случай 1°. Если Л не совпадает ни с одним из нулей ?>(А), т.е. ?>(А) Ф 0, то в силу теоремы Крамера система линейных неоднородных
уравнений (7) однозначно разрешима при любых правых частях f, i = l, п. При этом решение системы (7) определяется по формуле Крамера
ЩЯ) —
D(X)
где Д(А) - определитель, который получен из (8) заменой г-го столбца на столбец правых частей /..
Следовательно, если Л не является характеристическим числом ядра K(x,t), то уравнение (3) имеет единственное непрерывное на [a,b] решение <р(х), определяемое формулой (5), при любой правой части f(x) из класса непрерывных на [а, Ь\ функций.
Это утверждение и есть первая теорема Фредгольма.
При В(Л) Ф 0 соответствующее (3) однородное интегральное уравнение
n Ь
<р{х) = > а<х<Ъ, (10)
а
имеет только нулевое решение <р(х) = 0. Действительно, если f{x) = 0 на [а, Ъ], то
ь ___
ft = \f (Obi (t)dt = 0 при всех / = 1, п,
а
и система линейных уравнений (7) становится однородной. Тогда по правилу Крамера однородная система линейных уравнений с определителем, отличным от нуля, имеет только нулевое решение с, =с2 = ... = сп = 0. Следовательно, из
(5) получаем, что ср(х) = 0. Поэтому первую теорему Фредгольма можно
сформулировать следующим образом.
450
Для того чтобы уравнение (3) имело единственное непрерывное на [a,b] решение ср{х) при любой правой части f(x) из класса непрерывных на
[а,Ъ\ функций, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (10) имело только нулевое решение.
Пример 1. Решить интегральное уравнение
(р(х) - Я J(5х - 31) <p(t)dt = 1.
(11)
Решение. В случае уравнения (11) ядро
K(x,t) = 5x-3t = al(x)bl(t) + a2(x)b2(t) ,
где a,(x) = 5x, &,(f) = l, a2(x)~- 3, b2(t) = t является вырожденным.
Поэтому уравнение (11) перепишем в следующем виде:
1 1
<р(х) = \ + A5xf(p(t)dt-3A\t(p(t) dt = 1 + 5Яхс, -ЗЛс2 , (12)
