Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
у/(х)~ Л\К\х,1)у/({)(11 = g(x) (21)
a
называется союзным (сопряженным) с уравнением (1).
Для уравнения (3) с вырожденным ядром союзное с ним уравнение имеет
вид
у/(х)-Я^Ь^х) \ai{t)y/(t)dt = g(x) . (22)
a
V(x) = g(x) + Л^с*Ь,.(х),
/=1
где
ь ___
= jV(0a;(0d^ i = \,n.
а
Если g(x) = 0, т.е. когда уравнение (22) однородное, то для нахождения
с* получаем однородную систему (18), сопряженную с системой (7) или (17). Обе эти системы (17) и (18) имеют одинаковое число р линейных независимых
наборов решений. Пусть с* = {c*(m),c*(m), с*(т)}, т = \,р, линейно
независимые решения системы (18). Тогда функции
?Лх) = 11с?т)ЪМ), т = \,р , (23)
i=l
будут собственными функциями однородного уравнения
п b
?(*)¦-ЛXъ(х) Jа. (Оy/{t)ds=0, (24)
а
союзного с интегральным уравнением (10). Таким образом, нами доказано следующее утверждение.
Если X является характеристическим числом ядра K(x,t), то однородное уравнение (10) и сопряженное с ним уравнение (24) имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений.
Это есть вторая теорема Фредгольма.
Теперь вернемся к неоднородному уравнению (3), когда Л является характеристическим числом ядра. Поскольку разрешимость уравнения (3) равносильна разрешимости неоднородной системы линейных уравнений (7), то снова воспользуемся следующим утверждением из курса алгебры.
Теорема. Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений (7) была разрешима, необходимо и достаточно, ->
чтобы вектор f = {f ,f2 >•¦¦»/„} из правых частей f системы (7) был
ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы (18), т.е.
(7 с?т) = 0’ т = \,р. (25)
1=1
Поскольку / = |/{t)bi (t)dt, то подставляя это в равенство (25) с учетом
a
(23), получим
? с;1-)=/ло|Ёс;«-)б,(о
dt =
= J/0Vm(0^ = 0, m=l,p. (26)
a
Заметим, что для справедливости условий (26) достаточно выполнение равенств
ь ____
j f (t)bi(t)dt = 0, i = \,n.
a
Итак, если Я является характеристическим числом, то неоднородное интегральное уравнение (3) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть / (х) ортогональна ко всем решениям союзного однородного интегрального уравнения (24) в том смысле, что справедливы равенства (26). Это есть третья теорема Фредгольма.
Итак, если выполняются условия (26), то неоднородное интегральное уравнение (3) имеет бесконечное множество решений. Все они определяются по формуле
<р(х)=<р0(х) + (рг(х), где <рг (х) - какое-либо решение неоднородного уравнения (3), а ср0 (х) - общее
решение соответствующего однородного уравнения (10), которое определяется по формуле (20).
Как следствие из доказанных выше теорем Фредгольма вытекает следующая альтернатива.
Если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение имеет единственное решение. Если же однородное уравнение имеет ненулевое решение, то неоднородное уравнение в зависимости от правой части либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Пример 2. Решить интегральное уравнение
2?Г
<р(х)-Л j sin(x-t)(p(t)dt =/(х) , (27)
о
где /(х) любая заданная на [0,2л-] непрерывная функция.
Решение. На основании формулы
sin(x-?)=sinx cosf-cosxsin? нетрудно видеть, что ядро интегрального уравнения является вырожденным. Тогда
2 к 2ж
<р{х)=/(x)+Asinx Jcos^(0^-Acosx Jsin? <p(t)dt=
о о
=/(х)+Яс, sinx-Ac2 cosx , (28)
где
2 Ж 2 К
с, = Jcos^(/)<*, с2- Jsin t(p(t)dt. (29)
о о
