Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, уравнение (54) при и >1/(1-а) становится уравнением с непрерывным ядром и поэтому для него, следовательно, и для интегральных уравнений со слабой особенностью справедливы все утверждения Фредгольма, приведенные выше.
31* 483
t-a
x-t
t-a
t-a
x—t /j?
< C2 + J — = C2 - In (x -1) . i z
\M(x,t) | < ¦ C4 +C5 [ In | x-t 11 при a +/7-1 = 0, (58)
C6 при a + p~\<0.
Отметим, что когда а <1/2 , то уже вторая итерация K2(x,t) становится непрерывной на замкнутом квадрате.
§ 7. Симметрические интегральные уравнения
В этом параграфе изучим интегральные уравнения с так называемым симметрическим действительным ядром
K(t, х) = K(x,t) , а < х, t <b.
Интегральные уравнения с симметрическим ядром обладают рядом особенных свойств, не присущих общим интегральным уравнениям Фредгольма. Решения таких уравнений могут быть построены независимо от теории Фредгольма.
Пусть
ъ
К<р(х) = К(р= \К(х, t)(p(t)dt
а
- интегральный оператор, действующий в пространстве С[а, Ь\, где ядро К(х, t) задано и непрерывно на квадрате а < х, t <b.
Ядро К\х, t) = K(t, х), полученное из данного ядра K(x,t) перестановкой аргументов и заменой на комплексно сопряженное, называется сопряженным с данным ядром. В случае вещественного ядра
K(x,t) сопряженное (союзное) ядро К*(х, t) = K{t,x).
Соответствующий интегральный оператор
ъ ъ
К* у/ = |К*(х, t)y/(t)dt = \K{t, x)y/{t)dt,
a a
где y/(t)eC[a,b\, называют сопряженным с Кср оператором. Понятие сопряженности обладает свойством взаимности, т.е. сопряженным для К* будет оператор К: (К*у/)* = Кцг. Взаимно сопряженные интегральные
операторы К и К* связаны между собой весьма важным равенством
(К(р,у/) = {(р,К'у/). (1)
Действительно,
bfb Л ь ь
(К(р,у/)=\ JК(х, t)<p(t)dt y/(x)dx = J JK(x, t)i//(x)<p(t)dtdx = a \a J a a
b b bfb Л
= fq>(t)dt fK(x, t)i//(x)dx = f<p(t) \K(t, x)y/(t)dt dx = (tp, K'y/)-
a a a \a J
Если К = К*, то интегральный оператор называется самосопряженным. Если ядро K(x,t) симметрическое, то К* (х, t) = K(t, х) = K(x,t) \
поэтому в случае симметрического ядра К*(р = К(р, следовательно, равенство
(1) принимает вид
(К(р,у/) = (<р,Ку/). (2)
1. Основные свойства симметрических интегральных уравнений
Интегральное уравнение с симметрическим ядром K(x,t) совпадает со своим сопряженным (союзным) интегральным уравнением, так как К* (х, t) = К(t, х) = К(х, t). Это приводит к упрощениям. Так, например, известно (см. § 6), что решение однородного интегрального уравнения является ортогональным решению его однородного сопряженного интегрального уравнения, если эти решения соответствуют разным значениям параметра Я. Следствием этого утверждения является следующая
Лемма 1. Собственные функции уравнения с симметрическим ядром, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны между собой.
Доказательство. Пусть Я, и Я2 - различные характеристические числа
симметрического ядра K(x,t), а <р,(х) и <р2(х) - соответствующие им
собственные функции. Это значит, что
ъ
фх (х) - Я, J К{х, t) срх (t) dt = 0,
a
b
<р2(х)-Л2 J К(х, t) (p2{t)dt = 0, a<x<b
a
или в операторной форме записи
(рх-ЛхК(рх- 0, (р2-Л2К(р2- 0. (3)
Первое тождество из (3) умножим скалярно на Я2 (р2, а второе - на Я, (рх. Численные множители вынесем за знак скалярного произведения :
^2((Pi,(Pi)-KK(K(Pi, ^2) = 0- (4)
^l(P2»Pl)-^2(*>2» Я) = °- (5)
В равенстве (5) переставим множители в скалярных произведениях и заменим
(<,рх,К<р2) на (К<рх,<р2), так как интегральный оператор К является
самосопряженным. Тогда получим
Лх(фх,ф2)-ЛхЛ2(Кфх, <р2) = 0. (6)
Вычтя из (4) равенство (6), имеем
(Лх-Л2)(<рх,<р2) = 0.
Поскольку Я, Ф Л2, тот из последнего равенства следует (<рх, (р2) = 0, что и доказывает лемму.
Лемма 2. Все характеристические числа симметрического ядра являются действительными.
Доказательство. Допустим, что функция Фредгольма ^(Я) симметрического ядра K(x,t) имеет комплексный корень Я = а + г'у0. Поскольку D(A) является многочленом с действительными коэффициентами, то корнем этого многочлена является также сопряженное число Л = а — 1(5.
