Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть происходит некоторый процесс, например, физический, биологический или химический. Нас интересует определенная функциональная характеристика этого процесса, например, закон изменения температуры, давления или массы с течением времени. Если имеется достаточно полная информация о течении данного процесса, то строят его математическую модель. Во многих случаях такой моделью является дифференциальное уравнение и дополнительные условия относительно искомой функциональной зависимости (искомого решения). Решая полученное дифференциальное уравнение, находят все его решения и выделяют то решение, для которого выполняются дополнительные (начальные или граничные) условия. Надо отметить, что разные по содержанию задачи приводятся к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Это будет видно из рассмотренных ниже примеров.
Пример 1 (радиоактивный распад). Этот физический процесс характеризуется законом: количество вещества, распадающегося за единицу времени, прямо пропорционально количеству вещества, имеющегося в рассматриваемый момент. Требуется найти закон радиоактивного распада.
Решение. Пусть t - время; y(t) - количество радиоактивного вещества в
момент времени t, y(t0) = y0\ t0 - начальный момент времени, с которого начинается распад. Тогда за достаточно малый промежуток времени от t до t + At имеем
&y(t) = y(t + &t)-y(t) = -kycp At, (1)
где к > 0 - коэффициент пропорциональности; у - среднее значение
количества вещества за промежуток времени от t до t + At, уср —> y(t) при
At^O. Поделив равенство (1) на At и перейдя к пределу при At^O,
получим дифференциальное уравнение
Ay(t) lim - = -к lim v
Д(->° Д f Дг->0 ср
или
y'(t) = ^ = -ky(t). (2)
а х
Разделяя переменные в уравнении (2) и интегрируя, получим
f ^y^- = -k\dt + Cl,
J y(t) } где С, - произвольная постоянная, или
In\y(t)\ = -kt + СХ.
Потенцируя
\y(t)\=-eCl~kt =eCle~kt и освобождаясь от модуля, находим
y(t) = ±eCle~kl =Ce~kl. (3)
Формула (3) определяет общее решение уравнения (2). Из начального
условия ,у(У0) = найдем значение постоянной С:
y(t0)=Ce~kt° =у0.
Отсюда С=у0ек1° и подставляя это значение С в формулу (3), находим искомый закон радиоактивного распада вещества
У if) =У0е~('~'о)к, t>t0. (4)
Из формулы (4) видно, что распад вещества происходит по закону экспоненты. Пример 2 (размножение бактерий). В благоприятных для размножения
условиях находится некоторое количество п0 бактерий. Из опыта известно, что
скорость размножения бактерий прямо пропорциональна их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени.
Решение. Пусть t - время; N(t) - количество размножающихся бактерий
в момент времени t, N(t0) = N0] t0 - начальный момент времени, с которого
начинается размножение бактерий. Отвлекаясь от того, что значения N(t)
являются натуральными числами, будем считать, что функция N (t)
непрерывно-дифференцируема при t>t0. Тогда за достаточно малый
промежуток времени At будем иметь
AN(t) = N(t + At)-N(t) = kNep At, (5)
где к > 0 и коэффициент к зависит от вида бактерий и условий, в которых они находятся, его определяют экспериментально; Ncp - среднее значение количества размножающихся бактерий за промежуток от t до t + At, Ncp —> N(t) при At —> 0. Поделив обе части равенства (5) на At и перейдя к пределу при At —> 0, получим дифференциальное уравнение
^2 = kN(t). (6)
dt
Разделяя в (6) переменные и интегрируя, находим
ln| JVXOblnWtf) = ** + ?] •
Отсюда
N(t) = ±ec'ekt =Сек>. (7)
Формула (7) определяет общее решение уравнения (6). Пользуясь начальным условием N(t0) = N0, найдем значение постоянной C = N0e~k,°. Подставляя найденное значение С в (7), получим искомый закон размножения бактерий
N(t) = N0ek{,-,°), t>t0.
Следует подчеркнуть, что найденный закон роста бактерий годится только для идеальных условий, т.е. сообщество бактерий располагает неограниченными ресурсами питания и не подавляется никакими средствами, кроме собственной гибели. В реальных условиях, когда уже учитывается недостаток пищи, внутренняя конкурентная борьба внутри популяции и другие факторы, закон изменения роста числа бактерий определяется по-другому.
Пример 3. Известно, что чем выше над уровнем моря, тем воздух разреженнее, т.е. атмосферное давление с высотой уменьшается. Найти зависимость давления от высоты, если температура воздуха во всех слоях атмосферы одна и та же и ускорение свободного падения постоянно.
