Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
dt yjx +у dt yjx +у
имеет устойчивый предельный цикл х2 + у2 = 1.
Решение. Из данного уравнения составим выражение
xP + yQ = yjx2 +у2 (l-х2 - у2),
из которого вытекает, что если х2 + у2 = \ + е, то xP + yQ< 0, если
х2 + у2 = 1 — е, 0 < ?¦ « 1, то xP + yQ> 0. Тогда в силу утверждения 3 в
кольце между окружностями х2 + у2 = 1-? и х2+у2= \ + ? имеется устойчивый предельный цикл. Поскольку ? произвольно мало, то этим предельным циклом может быть лишь окружность х2 + у2 = 1.
Пример 3. Показать, что нелинейное уравнение
x + f(x)x + g(x) = 0, x = x(t), где функции / (я) , g(*) непрерывно дифференцируемы на сегменте а < х <Ь и f(x) сохраняет там знак, в полосе а<х<Ъ не может иметь предельных циклов.
Решение. Рассмотрим систему, соответствующую данному уравнению:
~~г = Р(х,У) = у, ^- = Q(x,у) = -f(x)y-g(x). dt dt
Составим выражение
дР dQ
дх + ду~
которое сохраняет знак в полосе а <х <Ь. Тогда в силу утверждения 4 данное уравнение в полосе а <х <Ь фазовой плоскости (х,у) не имеет предельного цикла.
4. Функция последования. Для разыскания циклов применяют так называемую функцию последования. Пусть дана гладкая линия L без контактов, т.е. линия L ни в какой своей точке не касается траекторий системы (4). Такими линиями могут служить малые отрезки нормалей к траекториям. Пусть положение точки на L определяется параметром т , т.е. а = а(т) е L.
Проведем через точку а(т0) траекторию I решения x = <p(t) системы (4) в сторону возрастания t и продолжим эту траекторию до первого пересечения с L, если оно состоится. Тогда точке пересечения отвечает значение г = г,, 384
зависящее от т0. Эта зависимость тх-ц/(т0) и называется функцией последования. Функция последования определена, вообще говоря, не для всех значений т (т.е. она определена не вдоль всей линии L ), а только для тех, для которых траектория I при своем продолжении вновь встречает (пересекает) линию L. Эта функция может даже оказаться не определенной ни для одной точки L. Оказывается, если она определена при некотором значении т , то она обязательно определена и непрерывна для всех достаточно близких значений т , что вытекает из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и из того, что линия L без контакта, и поэтому траектории, встречаясь с L, пересекают ее. Можно также показать, что функция последования является строго монотонной и непрерывно дифференцируемой [6, гл. 4, § 3; 13, § 28].
Теорема 2. Для того чтобы через точку а(т0) проходил цикл,
необходимо и достаточно, чтобы значение i//(r0) было определено и Hr0) = V
Доказательство. Достаточность. Если ^(т0)-т0, то траектория,
проходящая через точку г, = у/(т0), сама себя пересекает. Тогда в силу следствия из теоремы 1 она является замкнутой или положением равновесия. Последнее невозможно, так как в этом случае вектор /(х0) = 0, х0 = <р(а(т0)),
и он был бы касательным к линии L в точке т0, что противоречит определению линии L.
Необходимость. Если ц/(т0) не определено, то траектория /а( } при
t > t0 не пересекает L и поэтому она не может быть циклом (не может вновь
пройти через а(т0)). Пусть теперь значение тх = 1//(т0) определено, но тхФтй.
Обозначим а(т0) = а0, а(г,) = а1. Тогда дуга а0а] траектории / и дуга ага0
линии L вместе образуют замкнутую кривую Г, которая делит плоскость на две области. Конечную из них обозначим через G . Так как L - линия без контакта, поэтому все траектории пересекают ее в одном направлении, т.е. все траектории либо входят в область G (рис. 22, а), либо выходят из нее (рис. 22, б). Ни одна траектория не может выйти из области G (или зайти в область G) через дугу
а,а0 линии L и дугу агай траектории / .
Дуга ага0 линии L (на рис. 22 линия L - отрезок) может пересекаться траекториями либо внутри области G, либо вне этой области. Рассмотрение обоих этих случаев показывает, что траектория / , продолженная за точкой а,,
не может вновь прийти в точку а0, т.е. не может быть циклом. Теорема 2 полностью доказана.
а) б)
Рис. 22
Теорема 3. Для того чтобы через точку а(т0) проходил предельный цикл автономной системы (4), необходимо и достаточно, чтобы функция ц/(т) была определена при т = т0, ц/(т0) = т0 и для достаточно малых т:
| т -т01 > 0 выполнено неравенство цг(т) ф т .
Действительно, поскольку выполнены все условия теоремы 2, то траектория /, проходящая через точку а(г0), будет циклом. В силу
дополнительного условия этот цикл К изолированный, так как траектории, отличные от К и проходящие через точки, достаточно близкие к АТ, не будут замкнуты. В противном случае, замкнутые траектории пересекали бы линию L в точках, как угодно близких к точке 1//(т0). Поскольку функция у/(т) непрерывна и строго монотонна, то этим траекториям отвечали бы корни уравнения ц/(т) = т, сколь угодно близкие к т = г0, что невозможно.
