Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1_ _
= а = const.
2
Теперь рассмотрим рис. 28, на котором изображена слоистая среда. В каждом отдельном слое скорость света постоянна, но она убывает при переходе от слоя, лежащего выше, к лежащему ниже. Тогда падающий луч света при переходе от слоя к слою преломляется все больше и больше по направлению к вертикали. Применив закон (41) к границам между слоями, получим
sin а.
sum2 _ sm аъ
sin а.
Рис. 28
Теперь допустим, что толщина слоев неограниченно уменьшается, а число слоев неограниченно растет. Тогда в пределе скорость света непрерывно убывает и удовлетворяет равенству
------a- const, (42)
»(У>
где у = y(x) есть уравнение предельной траектории света (рис. 27). Тогда
tg Р = у'.
а 1 1
sum = cosp =
д/l + tg2 р -Ji + y2
и уравнение (42) принимает вид
о(у)^ + у'г(х)=к = ~. (43)
а
Возвращаясь теперь к задаче о брахистохроне, представим себе, что
материальная точка (рис. 26) (подобно лучу света) способна себе выбирать такую
траекторию спуска из точки А в точку В, чтобы время спуска было наименьшим. Тогда в силу изложенных выше рассуждений искомая кривая должна удовлетворять
уравнению (43). Подставляя в уравнение (43) значение о = sj2g у , получим
Я1 + Л = *,=^. (44)
28
Уравнение (44) и есть дифференциальное уравнение брахистохроны. Покажем, что брахистохроной может быть циклоида и только она. Для интегрирования уравнения (44) введем новую переменную подстановкой
y\x) = tg(p. (45)
Уравнение (44) после подстановки (45) примет вид
— = к, cos2 (р = —
1 +tg (р 2
Дифференцируя (46) по х, найдем
у'(х) = -кх s\n2(p^- или tg^ = -^1sin2^-^-.
dx dx
Отсюда
d х = -2кх cos2 (pd(p = -?j(l + cos 2 <p) d<p.
Интегрируя последнее равенство, найдем общее решение уравнения (44) в параметрической форме
f к,
х = —l(2<p + sm2<p) + C,
к2 (47) у — (1 + cos 2(р).
По условию задачи кривая у = у(х) проходит через начало координат, поэтому х = у = 0 при <р = 0. Тогда из (47) следует, что С = 0. Полагая в (47) (где С = 0) r = kj2, в = п-2(р, получим стандартные параметрические уравнения циклоиды
у = -——2— = &1cos2^ = -^-(1 + cos2^). (46)
fx = г(в -sm.0),
i (48)
[j/ = r(l-COS0).
В (48) число г определяется из условия прохождения кривой через точку В .
Под циклоидой понимается плоская кривая, представляющая собой траекторию движения точки М, лежащей на окружности производящего круга радиуса г, катящегося без скольжения по оси Ох (рис. 29).
Рис. 29
Пусть в начальном положении точка М находится в начале координат и после того как круг радиуса г повернется на угол в, она займет положение, указанное на рис. 29. Тогда из геометрических построений следует, что
х = OS = OP - SP, у = MS = QP- QN. (49)
Теперь вычислим OP, SP, QP и QN через в и г:
OP = МР ~гв, SP = MN = г sin#, QP = r, QN = г cos# и подставим их в (49). Тогда получим (48). Из самого способа построения циклоиды следует, что она состоит из равных арок, каждая из которых соответствует полному обороту производящего круга. Отдельные арки соединяются в точки, где они имеют общую вертикальную касательную. Эти точки: 2л гп, пе Z, называются точками возврата циклоиды. Отрезок между соседними точками возврата, длина которого 2лг, называется основанием арки циклоиды. Циклоида имеет следующие свойства:
1) площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга;
2) длина одной арки циклоиды равна четырем диаметрам производящего круга.
Циклоида обладает и многими другими интересными свойствами, имеющими
важное значение для техники. Оказывается, профили зубьев шестерен, кулачков и других деталей машин имеют форму именно циклоиды.
Пример 11 (задача о таутохроне). Предварительно исследуем вопрос о точности маятниковых часов. Рассмотрим простую модель маятниковых часов, состоящую из стержня длиной I и гири массой т на его конце (рис. 30).
Масса стержня считается настолько малой, что ею можно пренебречь по сравнению с массой гири. Если гирю отклонить на угол а и отпустить, то на основании закона сохранения энергии
