Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
непрерывности решения ф^) имеем
<Рг (* + Со) = Фг (t +lim С«) = Ф: (lim (* + Сп)) =
п п
= limф({г + С ) = Ит^Дг) = <рД0, / = 1, л .
п п
Отсюда следует, что С0 е F , значит, F есть замкнутое множество.
376
Решение системы (4) вида xt(t) = ai, i = \,n, где а, - постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что xt(t) = at, i = \,n, является положением равновесия системы (1) только тогда, когда
f(ax,a2,... ,ап) = 0 , / = 1, я.
Теорема 1. Пусть траектория xi = tp!(t), i = \,n, автономной
системы (4) сама себя пересекает, т.е. (pt(tx) = (t2), / = 1, n, при tx jt t2 и
числа tx и t2 принадлежат интервалу rx<t <r2 определения решения
xi=(P-M)> i = \,n. Тогда решение xi=(pi(t), i = \,n, может быть продолжено на всю прямую - со <t < + оо и имеет место одна из следующих
возможностей: 1) для всех t имеет место равенство cp^t) = ai, i = 1, n, т.е.
решение cp^t) является положением равновесия, т.е. точка
(cpxit), <p2(t), ¦¦¦, <Р„(0) не движется при изменении t, а стоит на месте;
2) существует число Т > О такое, что при любом t имеет место равенство
но при 0 < | tx -121 < Т хотя бы для одного i, / = 1, п, имеет место неравенство ^,(^) * Щ^2) ¦
В случае 2) решение х( = <рД?), / = 1,я, системы (4) называется
периодической, а его траектория - замкнутой траекторией или циклом.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и для определенности tx<t2. В силу леммы 2 при С = t2-tx имеем
Функции х( = (pt (t +С), i = \,n, являются решением системы (4) при rx-C <t <г2-С, и, кроме того, в силу равенства (8), решения <Pi(t) и <pfo + C) совпадают на общей части их областей определения, т.е. при rx<t <г2-С. Значит, решение
является продолжением решения хг = <рДt), i = \,n, на интервал (гх-С,г2) . Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения *,=^,(0- г = 1, «, определенное на интервале (—со, г2). На
основании равенства <Pj(t) = <Pi(t-С), i = \,n, аналогично найдем
cpi(t + T) = (pi(t) , / = 1, п,
P/(0 = Pi(f + Q. i = l, л •
(8)
числовую прямую - со <t <+ со . Таким образом, решение х: = <Pi{t), 2=1, п, можно считать определенным при всех t е R и из самого способа продолжения следует, что постоянная С = t2-tl >0 является периодом этого решения.
Пусть F - множество периодов решения х{ =(Pi(t), 2=1, и. Могут
представиться две возможности: a) F содержит сколь угодно малые положительные числа; б) в F существует наименьшее положительное число.
В случае а) найдется бесконечно малая последовательность положительных периодов Сп, т.е. Сп> 0 и Сп —> 0 при п —> + оо . Пусть t -
произвольная фиксированная точка из R. Рассмотрим последовательность дробных частей чисел tjСп :
t Г Г 1 t
t
- целая часть числа —, которая ограничена, и поэтому ИтапСп =0. Числа апСп, будучи целыми кратными периодов Сп, сами также
п
являются периодами решения <р( (0, i = 1, п . Тогда
<Pi(0 - Pitt ~апС„) ¦
Переходя здесь к пределу при п —> + со , получим
4>г (0 = lim (р{ (t ~ а „С п) = <р. (lim (t - ап Сп)) = (lim ап Сп) = <р,. (0) .
п п п
Следовательно, в случае а) решение xi = (pi(t), i = \,n, является положением равновесия. В случае б) при любом t е R имеет место равенство
<pi(t + T) = <pi(t), 2=1, п.
Покажем, что <?,(?[) Ф <Pi(t2) при всех tx и t2, удовлетворяющих неравенству
0 < | tx —t21 < Т, и при некотором i, i = l,n. Допустим противное, т.е.
существуют *, и t2 такие, что 0 <t2-t] <Т и при всех i = 1, п : <^, (^) = <Р, (?2) •
В силу леммы 2, <р;(Г) = <pt(t + С), где С = t2 - tx > 0. Значит, C = t2-t1 служит
положительным периодом решения (pt{t), 2=1, п , и С <Т, а это противоречит
условию, что Т - наименьший положительный период решения <P;(t), 2=1, п . Из доказанной теоремы 1 вытекает следующее
Следствие 2. Траектория любого непродолжаемого решения автономной системы (4) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений.
где an =
t
с"
3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы
Рассмотрим определенное решение xi — <р,-(0 ¦ г = п • или в векторной форме x = <p{t) системы (4) и соответствующую ему траекторию 1 в фазовом пространстве D .
Точка х = (Xj, х2, , хп) е D называется предельной точкой решения
х = q)(t) (или траектории /) при t—»+со, если существует последовательность tn —»+со, для которых (p(tn)^>x. Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t —> + оо для данного решения. Аналогично определяются понятия а -предельной точки и а -предельного множества при t—>— со. (Предельные точки, множества при ?—» + со и при t—>— со называют также соответственно со -предельными и а -предельными точками, множествами решения x = <p(t) системы (4)).
