Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Приведем примеры.
1. Пусть при t —> + со траектория I по спирали приближается к циклу I (рис. 20). Тогда этот цикл и является предельным множеством для I при t —> + со . Действительно, выбирая любую точку х е I , построим точки ax=x(tx), a2=x(t2), a3=x(t3), ... так, как показано на рис. 20,
последовательность которых сходится к точке х .
Если цикл является предельным множеством при t —> + со или t —> - со для отличной от него траектории, то он называется предельным циклом, т.е. предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к зтой замкнутой траектории при t —> + оо или при t —> - со.
Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории (как внешние, так и внутренние) приближаются к нему только при t —> + со, неустойчивым - если только при t —> - оо, полуустойчивым - если только с
одной стороны цикла траектории приближаются к нему при t —» + °о, ас другой стороны при t - оо или наоборот.
2. Точка покоя системы (4) является своей единственной предельной точкой как при /—»•+ оо, так и при t—>— оо. Замкнутая траектория является своим собственным предельным множеством.
3. Для траектории x = e~r (xeR') множество предельных точек при t —» + со состоит из единственной точки х = 0. Для траектории
*1 = ре1 cost/(l + e') , х2 = ре'sint/(l + er), р = const > 0 , множество предельных точек при t оо есть точка х1=х2=0,а множество предельных
точек при t —» + со есть окружность х2 + х\ = р2.
Рассмотрим свойства предельных множеств, причем для определенности при / —» + оо .
Лемма 5. Предельное множество траектории замкнуто. Доказательство. Пусть / - предельное множество траектории /,
заданной решением x = <p(t). Пусть х - произвольная предельная точка I . Тогда существует последовательность xk е I такая, что хк —»• Зс при к —>• + оо.
По определению предельного множества / для любого к найдется
последовательность tkn —>¦ °о , для которой x(tkn) хк при п ->• + оо. Выберем
tk так, чтобы tk >к и расстояние p{x{tk),xk)< — . Тогда при tk-*+co
к
(&—» + оо) имеем
p{x(tk), х) < p(x(tk), хк) + р(хк, х) < у + р(хк ,х)-> О,
к
а это означает, что х есть предельная точка I при t —>• + оо, т.е. х el .
Лемма 6. Предельное множество состоит из целых траекторий, т.е. это означает, что если х е I , то и вся траектория 1~ с начальной точкой
х целиком принадлежит I .
Доказательство. Пусть исходная траектория I определена решением
х = (p{t, t0, х0). Тогда <p(tn,t0,x0) —»• Зс g I при /я—»+оо и при любом фиксированном t на основании леммы 3
(p(tn+t, t0, x0) = (p(t, t0, (p(t0+tn, t0,x0))^<p(t, t0, x),
т.е. (p{t, t0,x)el .
Лемма 7. Для того чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория, определенная решением х = <p(t), «уходила в бесконечность», т е.
X ^,2(0 ~^ + 00 пРи t ^ +00 • (9)
1=1
Доказательство. Если условие (9) не выполнено, то найдется шар
п
В xf < d2 в R”, внутри которого траектория решения x = <p(t) содержит
i =i
точки при как угодно больших t. Тогда существует последовательность tk-++<x>, для которой cp(tk)&B. Выделяя из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, найдем при t —» + со предельную точку решения х = <p(t).
Лемма 8. Для того чтобы предельное множество состояло из одной единственной точки х, необходимо и достаточно, чтобы траектория I решения x = cp(t) входила в точку х при t^> + со, т.е. (p(t)—>x при t —» + со.
Действительно, достаточность очевидна. Пусть х - единственная предельная точка траектории I. Зададим произвольное ?>0 и надо показать, что для всех достаточно больших / расстояние p(x(t), х) < е. Допустим противное. Тогда существует последовательность t'k —>¦+ со и p(x(t'k), х)>?. По определению предельной точки х найдется последовательность ?"—>•+ оо, для которой p(x(t"k), х)<?. Из этих рассуждений в силу непрерывности функции (p{t) следует, что существует новая последовательность tk —>+<х> и p(x(tk), х) - ?. Выделяя из ограниченной последовательности x(tk) сходящуюся подпоследовательность, при к —»• со получим новую предельную точку х , для которой р(х, х) = ?. Следовательно, кроме х , имеется еще, по крайней мере, одна предельная точка траектории I.
Оказывается, когда размерность фазового пространства п = 2, то о предельном поведении траекторий на фазовой плоскости можно установить больше интересных фактов, чем в случае п> 2. Это установили математики А. Пуанкаре и И. Бендиксон. Здесь приведем несколько утверждений, принадлежащих им.
В качественной теории дифференциальных уравнений важную роль играют признаки, которые позволяют выделить области на фазовой плоскости, где содержатся или отсутствуют предельные циклы.
