Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
m(t) = mQ-at, (22)
где т0 - начальное значение массы ракеты, т.е. т(0) = т0. Скорость газа о}
относительно ракеты известна и равна о{ = b. Внешняя сила
FB=-mg = -(m0-at)g, (23)
g - ускорение свободного падения. С учетом (22), (23) и значения ц = b уравнение (21) принимает вид
dt mn-at
Интегрируя дифференциальное уравнение (24), найдем его общее решение
o(t) = - b \n(ma-at)-gt + Cx. (25)
Пусть и(/)| (=0 =и(0) = и0. Тогда из (25) имеем С, = о0 + b lrm0 и с учетом
этого значения С, соотношение (25) примет вид
o(t) = uQ- gt-b In
f \ i-Hi
m,
v
(26)
oy
Полагая в (26) v(t) = d x(t)/dt и интегрируя полученное уравнение, получим
1
x(t) = oQ--gt -b Jin
f \ i~2i
0
V
m.
(27)
Интегрируя по частям, вычислим последний интеграл : jh
г \ -5 f \ то . г \
at •ил 1- at -t---1 In at
II
к "V V то, а 2
О
1 (at-m0) In г \ - at
at
а К то.
(28)
Тогда, подставляя (28) в (27) и учитывая начальное условие х(/)|,=0 = х(0) = 0, найдем искомый закон движения ракеты
/\ / 7\ ^ 2^ тп
x(t) = (o0+b)t -- gt +—-
V
i-^
т,
\
In
1-
at
т,
(29)
о/
2 а
Таким образом, на основании формул (26) и (29) в любой момент времени t <т0/а можем определить скорость и высоту подъема ракеты.
Пример 8 (рост денежных вкладов в банке). Сумма S0 рублей положена в
банк под г % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение (т.е. проценты) начисляются непрерывно с течением времени t.
Решение. Общая сумма S вклада в результате начисления г % один раз в конце года составит
S = S0 + S0r = S0 (1 + г).
Если проценты начисляются по истечению полугодия, то
Если поквартально, то
у ( А Y ( Л
S = S0+S0 ---I- SQ + SQ --- -=s0 1 + -
0 о 2 v О 2 0 1 2 J
^ 1)
S = Sn
1 + -
В общем случае при начислении т раз в год общая сумма составит
S = Sr
1 + -
т
а по истечении п лет
S = Sr
1'+-)
V т
Если число т начислений процентов в год неограниченно увеличится, то
S - lim Sr
V
так как lim
r I \k
1+-k
m
m
/
-SQ lim
W1->+oo
V
m
/
C
— S0e
(30)
=e, k = — . Заменяя в (30) n через t, получим сумму, г
накопившуюся по истечении времени t
S(t)=S0er'. (31)
В течение короткого промежутка времени dt приращение суммы S равно
dS = d(S0er‘) = S0 re‘dt = rS(t)dt,
которое представляет собой дифференциальное уравнение роста денежных вкладов.
Теперь на основании полученного закона роста (31) рассмотрим следующую частную задачу. Сумма 5000 руб. положена в банк под 5% годовых. Через какое время она составит 20 000 руб.? По условию задачи S(O) = S0 =5000. Тогда из формулы
(31) имеем:
20 000 = 5 000 -е0'05' или In4 = 0,05 г.
1п4 21п2 л.л „
Отсюда t =-------=----- = 40 In 2 « 27,72 (лет).
0,05 0,05
Пример 9 (уравнение наукометрии). Найти закон роста числа научных публикаций.
Решение. Пусть x(t) - число публикаций по данному научному направлению в момент времени t. Предположим, что скорость роста числа публикаций прямо пропорциональна их количеству в рассматриваемый период времени:
dx(t) , ..
x (t) =---------= kx(t),
dt
где к > 0 - коэффициент пропорциональности. Как известно, решением уравнения
(32) является функция вида
где х0 =x(t0) - число публикаций в начальный момент времени t0. Поскольку при ?-»+ оо функция (33) принимает сколь угодно большие значения, то дифференциальное уравнение (32) может быть использовано только на ограниченном временном промежутке. Поэтому ясно, что, начиная с некоторого момента, закон роста числа публикаций нужно определять по-другому. Из истории науки видно, что для любого научного направления наступает этап торможения или насыщения. В связи с этим в качестве математической модели рассматривают следующее дифференциальное уравнение:
