Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2
то
= mgl cos в - mgl cos а = mgl(cos9- cos a),
(50)
где о - линейная скорость движения гири, a g - ускорение силы тяжести.
Поскольку длина дуги 5 окружности, по которой гиря отклоняется от положения
Л /ч ds ,dd „
равновесия на угол в, определяется формулой s = lu, то v(t) =— = 1—. Тогда
dt dt
равенство (50) принимает вид
1 f г!й\2
= gicosd-cosa). (51)
. dt
Учитывая возрастание в с 0 до а с возрастанием t от 0 до Г/4, где Т > 0 - период колебаний маятника, из (51) получим
Т~ dd
dt =
2g -v/cos^-cosar Интегрируя уравнение (52), найдем период колебаний маятника
т=л Т°' "
cos в- cos а
(52)
(53)
Из формулы (53) видно, что период Т колебаний маятника зависит от а. Этот факт и является основной причиной неточности маятниковых часов, так как практически гиря всякий раз отклоняется в крайнем положении на угол, меньший чем а.
В 1673 году нидерландскому ученому X. Гюйгенсу удалось сконструировать модель точных часов на основании решения следующей задачи о таутохроне (от греческого tauto - тот же самый, равный, одинаковый и chronos - время). Эта задача ставится так: в вертикальной плоскости найти кривую, скользя вдоль которой без трения материальная точка под действием силы тяжести достигает своего низкого положения за одно и то же время, независимо от ее начального положения. Как показал Гюйгенс, такой таутохронной или изохронный кривой является циклоида.
Решение этой задачи можно провести следующим образом. Пусть на торцовой стороне вертикально поставленной доски вырезан желоб в форме одной арки циклоиды (рис. 31).
Не учитывая трения, найдем время, в течение которого металлический шарик скатится из начального положения М до низкой точки К. Пусть (х0,у0) -
координаты точки М , а в0 - соответствующее ей значение параметра. Когда шарик
скатится из положения М в некоторое положение N с координатами (х,у) и 406
соответствующим параметром в, то он опустится по вертикали на расстояние h, которое в силу уравнений циклоиды (см. пример 10)
h = y-y0 = r(l-cos#)-r(l-cos#0) = r(cos#0-cos#), (54)
где в0, ве[0,п \в>в0.
Рис.31
Как известно, скорость падающего тела без начальной скорости определяется по формуле
о = ^2~gh. (55)
С учетом (54) равенство (55) принимает вид
о = ^2 gr (cos 90 -cosв)
или
ds
v(t) = — = <j2gr(coseo-cose). dt
Из уравнений циклоиды вычислим дифференциал дуги
ds = ^(dx)2 +(dy)2 = 2rsin^dd, поэтому дифференциальное уравнение (56) принимает вид
(56)
dt
¦ в ,Q sin—du \2r 2
(57)
g д/cos в0 - cos в
Интегрируя уравнение (57) от в0 до я, найдем время Т0, в течение которого шарик скатится из точки М до точки К:
п я sin—с/# Т.-]*). —2.
J"
Q
¦2d cos— 2
g в0¦JcosOq—cosO V g в0
= 2 -jjJL
V g ол]а2 -
I r . t = 2 — arcsin—
U a
2в0 2 в
cos --cos — 2 2.
I r
a
-n 0 ]g
о 0
где t = cos~ - a = cos“^ ¦ Итак’ вРемя To определяется по формуле
которое не зависит от в0, т.е. период колебаний шарика не зависит от исходного
положения М. Отсюда следует, что два шарика, начавшие одновременно скатываться по желобу из разных точек Ми//, окажутся в точке К в один и тот же момент времени. Поскольку трение не учитывается, то шарик, скатившись в точку К, будет по инерции продолжать движение и через время Т0, указанное по формуле (58),
поднимется до точки Мх, находящейся на одной высоте с точкой М. Проделав затем обратный путь, шарик начнет совершать колебания циклоидального маятника с периодом
Отличительным свойством циклоидального маятника по сравнению с обычным круговым является то, что период его колебаний не зависит от амплитуды.
