Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 166

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 283 >> Следующая

Решение. Пусть р = p(h) и р = р (К) - соответственно атмосферное
давление и плотность воздуха на высоте h над уровнем моря. За величину атмосферного давления p(h) принимают вес вертикального столба с площадью 5 = 1 см2 и высотой h. Рассмотрим два горизонтальных сечения этого столба воздуха на высоте h и h + Ah. Тогда разность давления равна весу столба воздуха между сечениями
-Ap(h) = p(h)-p(h + Ah) = Amg = gAm , (8)
где Am - масса этого воздуха, g - ускорение силы тяжести при свободном падении. Масса равна Ат = pcpAV = рср S Ah = рср Ah, здесь AV - объем столбика между слоями h и h + Ah, рср - средняя плотность воздуха в этом слое. При А Л —> 0 рср -> /?(Л).
Подставляя значение Ат в (8) и поделив обе части полученного равенства на Ah, имеем
Ар (К)
Переходя в (9) к пределу при Д/г-»0, получим дифференциальное уравнение относительно неизвестных р(К) и p(h)\
= -8P(h). (10)
а п
По условию задачи температура воздуха постоянная во всех слоях атмосферы. Тогда из закона Бойля - Мариотта или из уравнения газового состояния следует, что давление прямо пропорционально плотности: p(h) = k p(h), к> 0. В самом деле,
тг г, г ^ RT RT М . . RT М п
pV = RT. Отсюда, р = — =------------------кр, где к = —, р = —, R -
V М V М V
универсальная газовая постоянная, М - молярная масса газа. Подставляя p(h) = p(h)/k в уравнение (10) и разделяя переменные, получим
р к
Интегрируя, найдем общее решение
p(h) = Ce к .
Если над уровнем моря, т.е. при h = 0, атмосферное давление равно р0, то С = р0 и закон изменения атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря определяется по формуле
-?*
p(h) = p0e к . (11)
Из формулы (11) видно, что давление убывает с увеличением высоты по экспоненциальному закону. Формула (11) на больших высотах дает большую погрешность. Это связано с тем, что мы пренебрегли изменением температуры и ускорения свободного падения с изменением высоты.
Пример 4. В сосуд, содержащий а литров воды, непрерывно поступает со скоростью b литров в минуту раствор, в каждом литре которого содержится с кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Найти количество соли в сосуде в любой момент времени.
Решение. Пусть y(t) - количество соли в сосуде через t минут после начала смешивания. Найдем, на сколько изменится количество соли за достаточно малый промежуток времени от t до t + At, At>0. За At минут в сосуд поступает bAt литров раствора. В bAt литрах раствора содержится cbAt кг соли. С другой стороны, за время At из сосуда вытекает bAt литров смеси. В момент времени t во всем сосуде содержится y(t) кг соли. Тогда в bAt литрах вытекающей смеси
У С
содержится bAt—^ кг соли, где у -> y(t) при А/ -> 0.
а
Приращение количества соли за время At равно разности найденных величин солей во втекающем и вытекающем растворах:
y(t+At)-y(t) = cb-At-----------у -At .
а
Разделив на At и переходя к пределу при Д^-»0, получим дифференциальное уравнение
limr« + A<)-r(0=cfc,i|im
At о
или
y'{t) = ^ = cb--y(t). (12)
at а
Уравнение (12) представляет собой неоднородное линейное уравнение первого порядка. Интегрируя его, получим
ь
y(t)-ac + Cxe а , (13)
где Сх - произвольная постоянная. Поскольку при / = 0 в сосуде не было соли, то у(0) = 0. Полагая в (13) t = 0, найдем: у(0) = ас + Сх =0, Сх=-ас. Подставляя это значение Сх в равенство (13), получим закон изменения количества соли в сосуде в любой момент времени t :
у (t) = ас
( ±t\ l-е а‘
V /
Отсюда, придавая а, b , с конкретные значения, можно узнать количество соли в сосуде в любой момент времени t.
Пример 5. Тело массы т падает вертикально вниз с некоторой высоты с начальной скоростью о0. Сила трения прямо пропорциональна величине скорости. Найти скорость движения тела в любой момент времени после начала падения.
Решение. Пусть o(t) - скорость движения тела в момент времени t. Тогда
и(0) = о0. На тело действуют две противоположно направленные силы: сила тяжести
Fg=mg и сила трения Fmp =-kv, где к> 0 - коэффициент пропорциональности.
На основании второго закона Ньютона: та = F = F„+ F или т^- = mg -ko(t).
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed