Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 167

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 283 >> Следующая

dt
Разделив обе части уравнения на т , получим дифференциальное уравнение вида (12):
do к , х
— = g-----u(t). (14)
dt т
Интегрируя уравнение (14), найдем его общее решение
? ч mg ^ o(t) = -^ + Cem , (15)
к
т 2
где С -произвольная постоянная. Полагая в (15) ? = 0, найдем и(0) =-------1-С = о0,
к
mg
C-v0--------. Подставляя значение С в (15), получим искомый закон изменения
к
скорости движения тела в зависимости от времени t:
к
( к \
u(t) = o0e т‘ + — 1-е~т‘
к I У
При свободном падении тела без трения дифференциальное уравнение имеет dv
простой вид: — = g и величина скорости v(t) определяется линейной функцией: dt
v(t) = v0 + gt.
Пример 6. Тело, имеющее в начальный момент времени температуру Т0,
поместили в среду, температура которой поддерживается неизменной и равной Тх. Найти закон изменения температуры тела с течением времени, если скорость изменения температуры тела прямо пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.
Решение. Пусть Т(t) - температура тела в момент времени t > 0, Г(0) = Т0. По условию задачи
^P- = -k(T(t)-Tx) = kTx-kT{t), (16)
a t
где к > 0 - коэффициент пропорциональности. Знак минус в правой части уравнения (16) означает, что температура тела убывает (тело охлаждается), если T(t)-Tx> 0 и температура тела возрастает (тело нагревается), если T(t)-Tx <0. Уравнение (16) принадлежит к классу уравнений вида (12), и его общее решение определяется формулой
T(t) = Tx+Ce
-kt
С учетом начального условия Т (0) = Т0 найдем искомый закон изменения температуры тела с течением времени t:
T(t) = Tx+(T0-Tx )ekt = T,eh +Tx{\-ekt). (17)
Из формулы (17) видно, что температура тела T(t) возрастает, если Т0-Тх >0 и убывает, если Т0-Тх <0. В обоих случаях с возрастанием времени t температура тела Т (t) стремится к величине Тх.
Пример 7. Ракета с начальной массой т0 кг взлетает с поверхности Земли в вертикальном направлении. Газы, образованные сгоранием топлива, выбрасываются
постоянными долями массы а в единицу времени и с постоянной скоростью b , где а и b > 0. Найти скорость движения ракеты и расстояние, пройденное за время t.
Решение. Движение ракеты происходит путем выброса струи горящего газа с определенной скоростью относительно ракеты. Ракета несет с собой топливо, которое составляет главную часть переменной массы ракеты. Поэтому движение ракеты должны рассматривать как движение тела с переменной массой.
Согласно второму закону динамики изменение количества движения прямо пропорционально движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. Если К - количество движения тела с массой т , F -действующая сила, о - скорость движения тела, то в момент времени t
_ dK d(mo)
F =-----= —------. (18
dt dt
Пусть m = m(t) - масса ракеты в любой момент времени t после начала
движения, o = o(t) - ее скорость относительно Земли в момент времени t, FB -
внешняя сила, действующая на ракету, FR - реактивная сила, направленная по движению ракеты и возникающая за счет выбросов газов из сопла ракеты. Тогда суммарная сила F = FB + FR и равенство (18) принимает вид
d(mv) do dm _ _
—i---->- = m — + o— = Fr + Fb. (19)
dt dt dt R B
Реактивная сила FR определяется за счет изменения количества движения убывающей массы. Пусть Ат - убыль массы за время At. Масса Ат имеет скорость о-о,, т.е. скорость - и, относительно ракеты. Тогда количество движения убывающей массы Ат равно Ат(о-ог). По условию скорость о, постоянная, поэтому
Ат (о —о.} dm
Fr = lim--------------= {о-ох)—. (20)
* Д'-° At dt
Подставляя (20) в равенство (19), получаем дифференциальное уравнение движения ракеты
do dm _
m~r + vi-^7 = Fb- (21)
at dt
По условию задачи из ракеты выбрасывается газ массой а за единицу времени, тогда за время t - масса at. Тогда масса m(t) ракеты, спустя время t, составит
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed