Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1 о (20)
[у’ = -со х — 28 у + g'(0)y.
= A2+(28-g'(0))A + a>2 =0. (21)
Составим характеристическое уравнение -Л 1
-о2 -28 + g'(0)-A
Если 28 > g'(0), то корни уравнения (21) имеют отрицательные действительные части, поэтому положение равновесия асимптотически устойчиво. При 28 < g'(0) положение равновесия неустойчиво. В зависимости от корней уравнения (21) можно определить тип точки (0, 0) и поведение траекторий вокруг этой точки.
При определенных соотношениях между величинами R, L, Ц, С и характеристикой f(Us) можно показать, что система уравнений (19) имеет
периодическое решение. В этом случае ламповый генератор будет источником периодических электрических колебаний. Российский математик А.А. Адронов (1901 - 1952) впервые вывел дифференциальное уравнение (18) электрических колебаний лампового генератора и показал адекватность понятия предельного цикла и периодического колебания, возбуждаемого генератором. Он подробно
изучил случай, когда g(y) = a>2asgny , а > 0, т.е. случай, когда характеристика
/ триода имеет простой вид: она равна нулю при отрицательных значениях
аргумента, равна положительной постоянной b при положительных значениях
аргумента и /(0) = 6/2 . Система уравнений (19) при у > 0 принимает вид
[_у ——со2 x —25 у-о а.
Предположим, что корни характеристического уравнения А2 + 25Л + со2 = 0 линейной однородной системы
\х' = У,
(24)
[У = -со х-28у,
соответствующей системам (22) и (23), - комплексные, т.е. это означает, что со>8. Следовательно, точка положения равновесия (0, 0) системы (24) есть устойчивый фокус. Траектории линейной системы (24) наматываются на точку (0, 0) по часовой стрелке. Системы же (22) и (23) отличаются от системы (24) только сдвигом, т.е. их положения равновесия помещены не в начале координат, как у системы (24), а в точке (а,0) у системы (22) и в точке (-а,0) у системы (23). Чтобы представить себе поведение траекторий системы (19) при g(y) = co2asgny надо полуплоскость ^>0 заполнить полувитками спиральных траекторий системы (22), а полуплоскость у < 0 - полувитками спиральных траекторий системы (23) так, чтобы при переходе через прямую у = 0 они непрерывно переходили с одних траекторий на другие. Для этого построим решения систем уравнений (22) и (23):
\x = e~St(с, cos иt + с, sin иt) + а,
viz- 2 (25)
[у = -е St[(8cl -/лс2)соъ/лг + (/лсх + Sc2)sin/ut], у > 0;
| х = eSt (с, cos и t + с, sin и t) - а,
з, <26)
[у = -е [(Scj -{ic2)cos{it + (/лсх +ёc2)smjut], у <0,
где !л = 4со2 -82 . Рассмотрим траекторию системы (19) с g(y) = co2asgn.y , проходящую при t = 0 через произвольную точку (г,0), г>0, оси j; = 0. Поскольку движение на фазовой плоскости (х,у) системы (24) происходит по часовой стрелке, то из точки (г,0) траектория при возрастании t пойдет в нижнюю полуплоскость и, следовательно, будет определяться уравнениями (26). После прохождения полувитка спирали в нижней полуплоскости фазовая точка
вновь попадет на ось ;у = 0 в точку, соответствующую значению t = n/pi. Уравнения этого полувитка спирали имеют вид
8
х = е~5‘ (г + a)(cos jit л— sin jut)-а,
М
y = x'(t), 0<t<7r/ju.
При t > 7ij /л траектория попадает в полуплоскость у > 0 и ее уравнения уже определяются системой (25) с начальной точкой х(л/jS) = -ё~5п^(т + а)-а = т , у(я//х) = 0. Уравнения этого полувитка имеют
?
х - -е~8(>~л1 м) (г - a)(cos /л t н— sin jut) + a,
И
y-x'(t), 71 j 11 < t < 2п/ц.
При t = 27т/ц траектория вновь пересекает ось у - 0 в точке
у/( т) = -е*’1» (г - а) + а = e2Sn^x + (1 + e~s*lM)2a .
Тем самым построена функция последования для траекторий системы (19) при g(y) = со2a sgny . При этом уравнение 1//(т) = т имеет единственное решение
т = т0 = (1 + e~s*lM)a/(\-e~s*lM). Этому значению г0 соответствует устойчивый предельный цикл, так как
?'(т) = е2Чи <1.
Таким образом, система дифференциальных уравнений (19) при g(y) = a>2asgn у имеет единственное периодическое решение (т.е. предельный цикл) и в этом случае ламповый генератор будет источником периодических незатухающих электрических колебаний.
§ 16. Задачи на применение дифференциальных уравнений
первого порядка
В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сводится к дифференциальным уравнениям.
