Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
где к и а - положительные постоянные, а - потенциально возможное число публикаций. Когда x(t) увеличивается и становится сравнимым с а, то а-х-> 0 и, следовательно, х'(/)-»0. Поэтому рост x(t) прекращается. Отметим, что уравнение
(34) является нелинейным, так как его правая часть содержит х 2(t). Чтобы найти x(t) в уравнении (34) разделим переменные
х(а-х)
и разложим левую часть на простые дроби
1 dx 1 dx
-----+--------= kdt.
ах а а-х
Отсюда, интегрируя, получим
— ln|x|- — }n\x-a\ = kt + CQ
(33)
(34)
а
а
или
In----- =akt + aC0.
а-х
После потенцирования имеем
(35)
а-х
1 + С eakt '
Если в равенстве (36) t ->+оо, то получим, что x(t) -»а. Пусть х0 =x(t0) - число публикаций в начальный момент времени t = t0. Тогда из равенства (36) с учетом
обратно в (36). В результате находим закон роста научных публикаций
Пример 10 (задача о брахистохроне). Задача о брахистохроне (от греческого brachistos - кратчайший, chronos - время) или о кривой скорейшего спуска была поставлена швейцарским математиком И. Бернулли в 1696 г. и заключается в следующем. В вертикальной плоскости заданы две точки А и В, не лежащие на одной вертикали. Требуется среди всех кривых, соединяющих данные точки, найти ту, по которой материальная точка, двигаясь из точки А под действием силы тяжести без трения с начальной скоростью равной нулю, попадет в точку В в кратчайшее время.
Эта задача знаменита тем, что она стала исторически первой задачей, возбудившей к себе общий интерес среди математиков как источник идей для создания новой области математики - вариационного исчисления. Пусть на вертикальной плоскости заданы точки А и В. Примем за ось Ох горизонтальную прямую, а ось Оу направим вертикально вниз (рис. 26).
Из принципа сохранения энергии следует, что скорость движения материальной точки зависит только от потери потенциальной энергии и не зависит от вида траектории, по которой скатывается шарик. Тогда, поскольку начальная скорость равна нулю, то
условия x(t0) = x0<a найдем значение постоянной С-—-—е ак!° и подставим
а-х0
* ..
У1
у Ў
Соединим точки Л(хо,0) и В(хх,ух) произвольной гладкой дугой
у = у{х), х0<х<хх.
Рис. 26
v ~ ¦\Jlgy ¦ ГДe У ~ ордината точки, g - ускорение силы тяжести. С другой стороны,
если у = у(х) есть уравнение кривой, по которой движется точка из А в В , то
здесь элемент ds длины дуги кривой у = у(х) вычисляется по известной формуле из математического анализа (см. гл. 1, § 12, теорему 3)
Интегрируя уравнение (38), найдем время Т для покрытия пути от А до В по кривой
у = у(х)\
Ясно, что время Т, заданное равенством (39), зависит от функции у(х), и оно называется функционалом. Требуется найти функцию у(х), х0 <х<х,, для которой функционал Т принимает наименьшее значение, т.е. требуется найти экстремум функционала Т на множестве гладких функций у(х), заданных на сегменте [jc0, Xj].
Такая задача является типичной задачей вариационного исчисления.
Задача о брахистохроне аналитически родственна одной задаче из оптики: в прозрачной среде с переменной оптической плотностью даны две точки А и В, требуется определить траекторию луча света, идущего от точки А к точке В. Эта задача также сводится к задаче на нахождение экстремума функционала на основании следующего принципа Ферма: среди всех кривых, соединяющих точки А и В, траектория луча света есть линия, по которой свет проходит из А в В в кратчайшее время.
Пусть скорость света и непрерывно зависит только от у\ v = v(y). Рассмотрим рис. 27, на котором изображен луч света, падающий из точки А, совпадающей с началом координат О, в точку Р со скоростью ц, а затем проходящий в более плотной среде отточки Р до точки В с меньшей скоростью о2.
Полное время Т, требуемое для прохождения луча света от А до В, определяется из равенства
(37)
Из равенства (37) имеем
(38)
(39)
Согласно принципу Ферма луч света проходит от А до В по указанному пути за кратчайшее время Т. Поэтому производная d Т/dx = 0. Тогда из (40)
х с-х
цл/а2 +х2 о2Л]ь2 + (с-х)2
или
sin а.
sin а.
и,
(41)
'1 "2
Равенство (41) выражает известный закон преломления света Снеллиуса, который был первоначально открыт экспериментально в форме
sin а.
sin а
