Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть x = (p(t) - предельный цикл системы (4). Через произвольную точку x0=(p(t0) проведем отрезок L так, чтобы вектор f(x0) не был параллелен L. Это возможно, так как /(х0)ф 0. В противном случае предельный цикл есть положение равновесия.
Пусть х0=ц/(т0) = а0 и ц/{т) = а - функция последования. Чтобы
установить связь между поведением функции вблизи точки т0 с
поведением как внешних, так и внутренних траекторий к предельному циклу К рассмотрим неравенства
о I < |г-г0 |, \^{т)-т0 I > \т-т0 |. (12)
Если в полуокрестности линии К (внешней или внутренней) выполнено первое из этих неравенств, то точка а, = (//(г,) линии L находится ближе к а0, чем точка а (рис. 23, а), и поэтому в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на К при t —>¦ + оо. Если же в полуокрестности выполнено второе из неравенств (12), то в этой полуокрестности траектории
спирально наматываются на К при t —» - со (рис. 23, б).
Рис. 23
В силу теоремы 3 на достаточно малом интервале \т-т0\<6 существует единственное решение т = т0 уравнения ц/{т) = т. Не теряя общности, функцию последования будем считать строго возрастающей.
Тогда имеет место одна из четырех возможностей взаимного расположении графиков функций ц/ = ц/{т) и у/ = т (рис. 24).
В случае, приведенном на рис. 24, а) производная ^'(то) поэтому в обеих полуокрестностях точки т0 выполнено первое из неравенств (12), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При 1//'(т0)>1 (рис. 24, б) выполнено второе из неравенств (12), предельный цикл К неустойчив. Если графики функций i// = i//{t) и ц/ = т в точке (г0,г0) касаются друг друга, но кривая ц/ = переходит с одной стороны биссектрисы у/ = т на другую, то цикл К является либо устойчивым, либо неустойчивым. Если же кривая if/ = у/{т), касаясь биссектрисы ц/ = г, находится по одну ее сторону: выше или ниже (рис. 24, в, г), то соответствующий предельный цикл К полуустойчив.
Рис. 24
5. Ламповый генератор. Предельные циклы впервые были введены А. Пуанкаре при создании качественной теории дифференциальных уравнений. Позднее уже физики обнаружили системы, в которых устойчивые периодические движения возникают без воздействия внешней силы. Такие движения называют автоколебаниями.
Рассмотрим ламповый генератор (рис. 25, а) с колебательным контуром, который состоит из триода, конденсатора емкостью С, активного сопротивления R , катушек индуктивности L и L{ (величина второй не имеет значения).
1а
Рис. 25
L и L{ связаны отрицательной взаимоиндукцией М (М > 0), которая осуществляет обратную связь в этом генераторе. В триоде между сеткой и катодом подается разность напряжений Us (сеточное напряжение), от анода к
катоду через электронную лампу течет анодный ток 1а. Закон, управляющий работой триода, задается формулой (рис. 25, б)
Ia=f{Us). (13)
Здесь функция / называется характеристикой триода. Составим дифференциальное уравнение, описывающее работу лампового генератора. Пусть / = /(/) - ток через сопротивление R, t - время, /с - ток через конденсатор С. Тогда в силу первого закона Кирхгофа
/в=/ + /с. (14)
На основании второго закона Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре,
1 t
содержащем R, L и С, равна нулю: LI' + RI-------J/C(r)«fr = 0.
С ‘о
Дифференцируя последнее равенство, получим
L-F + R-I'-—Ic= 0. (15)
С
В силу взаимоиндукции между индуктивностями L и Lx имеем
и,=МГ. (16)
Тогда из равенств (13) - (16) приходим к нелинейному уравнению второго порядка
L.r + R.r + ll = 1/(М/'), (17)
которое описывает работу лампового генератора. В (17) произведем замену I(t) = x(t) + /(0) , тогда оно примет вид
х" + 28 х' + а>2х = g(x') , (18)
где 28 = R/L > 0, со2 = l/CL, g(V) = [/(Мх') - /(0)]/ХС. Вводя новую переменную у = х', вместо уравнения (18) получим равносильную нормальную систему уравнений первого порядка
Г х’ = у,
1 7 (19)
[у =-а> х-28y + g(y).
Для отыскания положения равновесия системы (19) приравниваем к нулю ее правые части:
у = О, со2х + 28 у-g(y) = 0.
Эта система имеет единственное решение х = у = 0. Таким образом, начало координат является единственным положением равновесия системы (19). Теперь выясним условия устойчивости положения равновесия (0, 0) системы (19), для чего линеаризуем эту систему в окрестности точки (0, 0):
[ х' = у,
