Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2°. Шесть функций вида
F(a± 1, р, у; х), F(a, р± 1, у; х), F(а, р, у± 1; х) называются смежными с функцией F(a,p,y;x). Между F(a,p,y\x) и
любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость, коэффициенты которой, вообще говоря, являются линейными функциями от х. Существуют 15 равенств такого типа, которые впервые были установлены Гауссом. Для примера приведем некоторые равенства:
yF(a, р-1, у, х) + (а-P)xF(а, р, у + 1; x)-yF(a-1, р, у, х) = 0, (у-a-P)F(а, р, у, х) +a(\-x)F(а + \, р, у, х)--(y~P)F(a, р-1, у, х) = 0, y(\-x)F(a, р, у, x)-yF(a-1, р, у, х) + (у-P)xF(а, р, у + 1; х) = 0, справедливость которых устанавливается путем подстановки ряда (42) в них.
3°. Справедливы следующие формулы дифференцирования:
~j—F(a, Р, y\x) = ^-F(a + \, р + \,у + \\ х) , (54)
ах у
——F(a, /3, y\ x) = ^n F(a + n, P + n, y + n\ x), neN. (55)
dxn (y)n
Справедливость формулы (54) устанавливается путем непосредственного дифференцирования ряда (42):
d ^ г д ч (а)к(Р)кхк Х — F(a, р, у; x) = Y ----=
dx И Й (у)к\к-1)!
аР К (а + \)п(Р + \)пхп аР „, . _ 1 .
= — ? -—7^7—}т— = — Р{а + \,Р + \,у + Ъх).
У п=о (у + \)п-п\ у
В силу (54) формула (55) верна при п = 1. Допустим, что она справедлива при п = ке N. Докажем ее справедливость при п = к +1:
dk+X Т7 ( п л d F (а, р, у; х) = —
d х
dxk+x d
dx
{d*_
dxk
F {a, p, y, x)
(cc)k-(P)k
(Г)к
(a)k-(P)k (a + k)-(P + k)
F (a+ k, P + k, у + к; x)
F (a+ k +1, P + k + l, y + k + l;x) =
(T)k (r + k)
= (<*)>+. •(/?)>+. F(a + k + l, p + k + l, y + k + \; x).
(У)к+1
Следовательно, на основании метода индукции формула (55) справедлива при любом neN.
4° F(a,p,y,x) = (l-xY~a~/}F(y-a,y-p,y,x),y>a>0. (56)
Действительно, функция
у5(х) = (1 -хУ~а-р F(у-a, у-Р, у, х) = (1 -х)^ у(х) является на (-1,1) решением уравнения (37). Удовлетворяя функцию у5(х) уравнению (37) относительно б>(х), получим уравнение :
x{\-x)v”{x) + [y-{2y-a-p-\)x]v'{x)-{y-a){y-p)v (х) = 0.
Последнее уравнение является гипергеометрическим с новыми параметрами а' = у —а , Р' = у - Р, у' = у. Тогда его решением является функция
o(x) = F(a', р', у'; x) = F(y~a, у~р,у,х), следовательно, функция у5(х) на интервале (-1, 1) является решением уравнения (37). Решения у,(х) и у5(х) удовлетворяют в точке х = 0 одним и тем же начальным условиям:
а Р
У1(0) = У5(0) = 1, у[(0) = У5(0) = -
и они являются аналитическими в окрестности точки х = 0: | х | < 1. Тогда в силу
теоремы Коши о единственности решения начальной задачи функции
ух(х) = у5(х) на (-1,1). Тем самым доказана справедливость формулы (56),
которая называется формулой автотрансформации гипергеометрических функций.
5°. Если у > Р > 0 , то имеет место формула Эйлера
F {а, р, у, x>f(^lr_p)} ^ С1-*')¦“ dt. (57)
В самом деле, при 0<?<1 и |х|<1: |х*|<1 и на основании биномиального разложения (см гл. 1., § 11, п. 3)
(1 -«Г = g Я <Я + + * ~ (х()‘ . g (gk(x<)‘, (58)
к=О к. к=о к.
будем иметь
J =-----Г00-----Vtp.x _ g (ay к dt
Т{Р)Т{У-Р)1 ыо к\
Здесь, переставляя порядки интегрирования и суммирования, что законно в силу равномерной и абсолютной сходимости степенного ряда (58) на любом сегменте [-q, q\ <z (-1,1), где 0 < q < 1, получим
j =-----LW------g (а)*^ V fp-uk (1 _ ty-p-. dt =
T{P)Y{y-P)to к\ 0J
Г (у) й(а)кГ(Р + к)Г(у-р)„к
у х ^ у______________=
Г(/?)Г(у-/?)*=0 к\ Г(у + к)
= у г(г) Г(Р + к) (а)к хк = а (а)к (Р)к Хк = hr {у + к) Г (Р) И h (у)к к!
= F(a,p,y;x), -1<х<1.
6°. Если у>р> 0 и у-а-^р> 0, то в формуле (63), переходя к пределу при х —> 1 - 0, получим
F (а, р, у; 1) =-----------^—- J tp~x (1 - t)r-a-p-x dt =?M?fc^Z^).
Y{P)Y{y-p)l Y (у -a)Y(у -P)
7°. Если y-a~p< 0, то функция F(a,p,y;x) при x—>1-0 имеет особенность степенного порядка
F(a,p,y,x) = 0((l-xy-a-p), (59)
а при у - а - Р = 0 она имеет особенность логарифмического порядка
