Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 133

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 283 >> Следующая

F(a, p,y\x) = 0(In(1-х)). (60)
Справедливость оценки (59) непосредственно следует из формулы (56). Оценка (60) вытекает из следующего разложения:
F(a, p, a + P\ x) =
T(a + P) f(a)k(P)k T(a)T(P)to (kl)2
-^(а + А:)-^(Д + А:)-1п(1-х)](1-х)\ где *F(z) = r'(z)/r(z) - логарифмическая производная гамма-функции.
8°. Гипергеометрическая функция при некоторых значениях параметров выражается через элементарные функции. Например,
a) F(a, р, Р\ х) = (1-х)“а, |х| <1;
б) F
в) F
— — [(1 + л/х) 2а + (1 — л/х) 2а\
у
1 .
а, а+ — , 2 а\х 2
Л Гх 1 R--
н—— х
v2 2 ,
г) F(2a, а +1, х) = (1 + х) (1-х) 1 2а;
д) F(-n, р, г; х) = -\-х1~’'(1-хУ+”-/3 -^[х^-1 (l-x)^], neN-
(У)п d х
е) F (1,1, 2; х) = -х-1 In (1 - х) ;
ж) F
з) F
1, -х2
2 2
= х 'arcsinx;
= х arctg х.
(61)
(62)
(63)
Справедливость этих представлений предлагается читателю установить самостоятельно. Для примера покажем (61). Воспользуемся разложением логарифмической функции в степенной ряд (см. формулу (10) § 11 гл. 1) при
I х I <1:
.*+1
1п(1 —х) = —X
к=о к +1
= -х У
to (2)кк\
Аналогично выводятся формулы (62) и (63).
§ 10. Качественные свойства решений линейных уравнений
второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
р0{х)у" + рх{х)у'+ р2{х)у =¦ 0, а <х <Ь, (1)
где />0(х), /^(х), />2(х). Ро(х). А(х) непрерывны на (а,Ь), причем р0(х) Ф 0, решения таких уравнений не всегда строятся в явном виде. Здесь
изучаются качественные свойства решений уравнения вида (1) без построения самих решений. Уравнение (1) можно привести к простому виду
y" + q{.x)y = 0, а<х<Ь. (2)
Действительно, вместо у(х) в уравнение (1) введем новую неизвестную функцию z(x) по формуле
1 ГАМ 'У J
у(х) = z(x)exp
-dx
(3)
2 J Р0(х)
Тогда для z(x) получим уравнение вида (2) с непрерывным на (а,Ь) коэффициентом
ЛИ 4
Ро(х).
>Ро(х),
В силу замены (3) функции .у (х) и z(x) меняют знак при одних и тех же значениях х е (а,Ь). Отметим, что если в (2) q(x) <0 на интервале (а,Р) с (а,Ь), то y”(x) = -q(x)y(x)>0 при у(х)>0 и у”(х)<0 при у(х) < 0 • Поэтому графики всех решений уравнения (2) выпуклы вниз в области у > 0, а <х < /3 и выпуклы вверх в области .у < 0, а <х < /3. В обеих областях графики решений выпуклы в сторону оси Ох. Если q(x) > 0 на {а,Р) , то графики решений уже обращены вогнутостью к оси Ох .
Нулем решения у (х) уравнения (2) называется точка х0 е (a,b), в которой у(х0) = 0.
Лемма 1. Пусть _у (х) - нетривиальное, т.е. не тождественно равное нулю, решение уравнения (2). Тогда множество нулей решения _у (х), содержащееся на любом конечном отрезке [<2,/?] с: (a,b), конечно.
Доказательство. Пусть на \а,Р\ существует бесконечная последовательность хк нулей решения у(х) уравнения (2). Из ограниченной последовательности хк можно выделить сходящуюся подпоследовательность х —> х0 е \а,/3~\. В силу непрерывности решения .у(х) в точке х0
у(х0)= lim у{х ) = 0.
jt-M-oo ™
Решение .у(х) в точке х0 имеет производную. Тогда существует предел
УЫ=lim**)-**)- UmzKhz<5)=0,
X—>X(i Y — Y k->+°о Y — Y
о 0 лрк л0
так как числитель дроби равен нулю. Таким образом, у(х0) = у'(хо) = 0- Тогда по теореме единственности решения задачи Коши для уравнения (2) }/(x)s0 на (а,Ь), что противоречит условию леммы.
Рассмотрим два простейших уравнения с постоянными коэффициентами
У~к2у = О, у" + к2у = 0 .
(4)
(5)
Исследование уравнений (4) и (5) показывает глубокую разницу между характером функций, являющихся их частными решениями. Каждое решение уравнения (4) может на всем интервале (- оо, + со) обратиться в нуль не более одного раза. Между тем решение уравнения (5), определяемое формулой Asm(kx + (p), А и q> - произвольные постоянные, имеет бесконечное
множество нулей, расстояние между соседними равно л/к, т.е. каждый интервал длины больше л/к содержат, по крайней мере, один нуль любого решения уравнения (5).
Определение. Если решение уравнения (2) имеет на данном интервале не более одного нуля, то оно называется неколеблющимся (неосциллирующимся) на этом интервале, в противном случае -колеблющимся (осциллирующимся).
На основании данного определения, уравнение вида y” + qy = 0, где q = const, имеет неосциллирующиеся на любом интервале решения, если q< 0, и осциллирующиеся на достаточно большом интервале, если q>0. Оказывается, этот результат переносится на уравнения вида (2) с переменным коэффициентом q(x) .
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed