Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть выполнены условия б). В этом случае в силу теоремы 4: у'(а)< 0 при х0 = а или у'(Ь)> 0 при х0=Ь, которые противоречат условию у'(а) = у'(Ь) = 0. Тогда ^(х) s const = С0. Подставляя у(х) = С0 в уравнение (13) (где /(х) = 0), получим: q(x) -С0= 0 . Отсюда следует, что С0 = 0, так как q(x) #0 на (а, Ъ).
Пусть даны условия в). Тогда если х0 = а, то у'(а) = у(а)ах/Рх > 0, что в силу теоремы 4 противоречит У(а)<0; если же х0=Ь, то У ф) = -уф)а2/Д < 0, которое несовместимо с неравенством у' ф) > 0.
Таким образом, во всех трех случаях у(х) = 0 на (а, Ь). Отсюда в силу непрерывности у(х) на [а,6] следует, что ^(х) s0 на [а,Ь].
Отметим, что в случае б) если <7(х) = 0 на (а,Ь), то ^(х)^ const на
[а,Ь].
§ 11. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Основные определения и понятия. Формула Грина
В предыдущих параграфах для дифференциальных уравнений изучалась начальная задача, в которой помимо уравнения в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются граничные или краевые условия, определяющие значения неизвестной функции или ее производных или их комбинаций на концах промежутка задания уравнения. Задачу определения частного решения дифференциального
уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям, называют краевой задачей. К краевым задачам сводятся многие математические и физические задачи. В дальнейшем будем рассматривать краевые задачи для уравнения второго порядка
1(у)"т
ах
Р(Х)^Г
ах
-q(x)y(x) = -f(x), a<x<b. (1)
Относительно коэффициентов уравнения (1) примем, что функции р(х), р'(х) и q(x) непрерывны на [а,Ь\ и при всех хе[а, Ь] \
р (х) >pQ= const > 0, q(x) > 0. (2)
Правую часть - f(x) уравнения (1) будем предполагать непрерывной на [а,Ь]. Краевая задача. Найти на сегменте [а, Ь] функцию у(х) из класса
C2[a,b], удовлетворяющую на интервале (a, b) уравнению (1) и граничным условиям
ах у (а) - Д у'(а) = у0, а2 у (Ъ) + Д у'(Ь) = ух, (3)
где at, Д., г = 1,2, у0, у{ - заданные числа, при этом а) + Д.2 Ф 0.
Условия (3) не позволяют найти одновременно значения у(х) и у'(х) ни
при х = а, ни при х = Ь. Поэтому краевая задача (1) и (3) не может быть сведена к задаче Коши для уравнения (1).
Если Д = Д = 0, то соответствующее граничное условие называют условием 1-го рода (типа); если ах -а2 = 0 - условием 2-го рода; если и Д
одновременно отличны от нуля - условием 3-го рода, а соответствующие этим
граничным условиям задачи называют первой, второй и третьей краевой задачей.
Краевые задачи, в которых правая часть уравнения (1) и числа у0 и ух
равны нулю одновременно, называются однородными, а в противном случае неоднородными.
Замечание 1. Отметим, что неоднородную краевую задачу можно свести к неоднородному уравнению с несколько измененной правой частью с однородными граничными условиями.
Действительно, в случае ненулевых (неоднородных) граничных условий решение краевой задачи будем искать в виде
y(x) = u(x) + z(x),
где z(x) - произвольная функция из С2[а,Ь], удовлетворяющая граничным условиям (3):
axz(a)-pxz'(d) = y0, a2z(b) + J32z'(b) = yv (4)
Тогда относительно функции и(х) получаем краевую задачу для неоднородного уравнения
d
L(u) =
dx
( \dv Р(Х)~Г dx
~q(x)u(x) = -g(x) (5)
с однородными граничными условиями :
ах и (а) - Д и'(а) = 0, а2 и (Ь) + /?2 и'ф) = 0,
где
g(x) = f(x) + L(z) = f(x) + —
dx
p(x)
dz
dx
-q(x)z(x).
Функцию z(x), удовлетворяющую условиям (4), всегда можно построить. Например, в случае граничных условий первого рода: у(а)-у0/осх = у0 и у(Ь) = ух/а2 = ух, в качестве функции z{x) можно выбрать линейную функцию
z(x) =
Уо~У1
а-Ь
(x-a) + 3v
Важным случаем однородных краевых задач являются так называемые задачи на собственные значения : найти все значения параметра Л и соответствующие им ненулевые на сегменте [а, Ь\ решения однородной краевой задачи:
Ly + Xr(x)y(x) = 0, (6)
