Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Если y = -n, п = 0,1,2,... , то гипергеометрический ряд (42) не определен, когда параметры а и Р не равны -р, р<п, где p,neN. Однако существует предел
F{сс, р, у; х) _ . й (a)k(P)kxk _
lim И? Г, = lim у
v—ь— и / i/i v —^— и
г-*-« Г (у) г->-п “ Г (y + k)k\
{a)k{P)kxk ^ (a)n+Um(P)„+l+mxm+n+l
= ? KU’-±-KPh--=\m = k-n-l\ = Z
t=«+i T(k-n)k\ T{m + \){m + n + \)\
)nMn^
(a)n+1(P)n+1*"+1.g (<* + n + l)m(P + n + l)mx
(и + l)! m=o (n + 2)mml
x"+1 F(a + n + l, fi + n + l, n + 2; x). (43)
(a)
n+1 iP)n+, „П+1
(n +1)!
Если a = —n или ft = -n, где n = 0,1, 2, ..., и y = -p , где p = n, n + l, n + 2,... , то полагают
F(-n, /3,-p-,x) = jr
тй i-p)k k\
17f \ ST (a)k(~n)kxk
F (a, -n, - p\ x)=> ——------------——.
Функции (43) и (44) являются решениями уравнения (37).
Таким образом, если: 1) а, /3 и у не являются неположительными целыми числами, то решение уравнения (37) определяется рядом (42); 2) у = -п , п = 0,1, 2,... и а Ф-р, Р Ф -р, где ре N и р < п , то решение
уравнения (37) определяется рядом (43), т.е. в этом случае решение задается функцией
_у, (х) = x"+1 F(а+ п+1, Р + и +1, и + 2; х);
3) а = -п или Р = -п, п = 0,1,2,... , и у = ~р, где
р = п, п + 1, п + 2,... , то решение уравнения (37) определяется формулой (44).
Второе решение уравнения (37) будем искать в виде
У 2 (х) = х1-^ о (х). (45)
Подставляя функцию (45) в уравнение (37), получим
х(1-х)и\х) + [2-у-(а + Р - 2у + Ъ)х]и' (х)-
-(а-у + 1)(Р~у + 1)и(х) = 0, (46)
т.е. имеем гипергеометрическое уравнение с параметрами у'= 2-у, а' = а-у +1 и Р' = Р~у +1. Тогда на основании изложенного выше уравнение (46) имеет решение
о(х) = F(a-y + \, р~у + 1, 2-у; х), (47)
где у'-а'-Р'= у-а - р . Следовательно, на основании (47) и (45) найдем второе решение уравнения (37):
у2(х) = хх~т F (а-у +1, Р~у + 1, 2-у; х). (48)
Если у не является целым числом, то решения _у,(х) и УгСх). определяемые формулами (42) и (48), являются линейно независимыми, так как при х—> 0 они имеют различное поведение. Тогда их линейная комбинация
У (х) = Сху, (х) + С2у2 (х) =
= CxF(a, Р, у; x) + C2x'~r F(a-y +1, Р~у +1, 2-у; х), (49)
где С, и С2 - произвольные постоянные, определяет общее решение
уравнения (37) на интервале (0,1).
Отметим, что если степень х1-г определена при х < 0, то предыдущее утверждение справедливо и на интервале (-1, 1) .
Если у = 1, то функция (48) совпадает с (42), поэтому в (49) в качестве у2(х) надо взять уже другое решение, линейно независимое с ^(х) ¦
Точка х = 1 также является особой точкой уравнения (37). Чтобы найти линейно независимые решения уравнения (37) в окрестности точки х = 1, произведем в (37) замену независимой переменной ? = 1-х. В результате имеем гипергеометрическое уравнение
t (1 -1) z"(t) + [а + Р + 1- у -(а + Р + l)t]z' (t)- а Р z(t) = 0, (50)
где z{t) = y(\-t) = у(х) , с новыми параметрами а' = а, Р' = Р и
у' = а + Р + 1-у . Тогда по аналогии с уравнением (37) уравнение (50) имеет
следующие решения :
z, (t) = F (а, р, а + р + 1- у, t), z2 (t) = tr~a~p F(y-р, у-a, у + \-a-P; t) .
Следовательно, если a + P + l-y не является целым числом, то линейно независимыми решениями уравнения (37) в окрестности точки х = 1 будут :
y3(x) = F(a, р, а + р + 1-у; 1-х), (51)
У* (х) = (1 -x)r~a~p F(у-Р, у-а, у + 1-а-Р; 1-х) (52)
и общее решение уравнения (37) определяется как линейная комбинация решений уъ (х) и ,у4(х) на интервале (0,1). Если степень {\. — х)г~а~р определена и для х > 1, то общее решение задается на интервале (0, 2).
В случае ^ = 1 в формуле (49) в качестве второго решения у2(х) следует взять (52), так как функция ,у3(х) при х—>0 + 0 имеет особенность логарифмического порядка и, поэтому, _у,(х) и у3(х) на (0,1) линейно независимы.
Если у - целое число, то при у > 0 и а + Р + \-у Ф—п, п = 0,1, 2,..., решения ^(х) и у3(х) или ^(х) и у4(х) линейно независимы, а при у< 0 и a + p + l-уф-п, п = 0,1, 2,..., решения у2(х) и ,у3(х) или у2(х) и ^4(х) линейно независимы на (0,1).
Свойства функции F (а, р, у; х)
1°. F {а, р, у, x) = F (Р, а, у\ х). (53)
Справедливость этого равенства следует из того, что сумма ряда (42) не изменится при перестановке местами параметров а и р .
