Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 135

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 283 >> Следующая

y” + q(x)y = 0, a<x<b, где q(x) непрерывна и положительна на [а,Ь\.
Решение. Обозначим через Мит наибольшее и наименьшее значения функции <?(х) на [а, Ь]. Тогда 0 <т< q(x) < М . Предположим, что т <М . Сравним уравнение (2) с уравнением
z" + Mz = 0,
имеющем решения
z(x) = с, cos л/м х + с2 sin 4м x = dx sin VM(x + J2), (9)
где с,, и d(, i = 1,2, - произвольные постоянные. Пусть х, и х2 - любые соседние нули решения у(х) уравнения (2). Полагая в (9) d2=-xx, имеем z(x,) = 0. Тогда в силу следствия 2 из теоремы сравнения получаем, что следующий нуль х3 решения z(x) лежит на (х,,х2]. Поскольку расстояние между любыми соседними нулями решений уравнения (5) равно л/к, то х3 = х, +я/л/м и х2 -х, > х3 -х, = л-/л/м . Далее сравним уравнение (2) с уравнением z" + mz = 0, у которого общее решение имеет вид
Полагая в (10) d4 = -х1, получаем z(xj) = 0 и соседние нули хх и х'3 решения z(x) связаны равенством: х'3 = Xj + л-/ 4т . Поскольку q(x) >т> 0 , то из следствия 2 вытекает, что нуль х2 решения у(х) уравнения (2) лежит на
(хр х']. Значит, х2-х1<х'3-х1- л/4т .
Итак, найдена оценка
л/ 4м < х2 - Xj < л/ 4т .
Таким образом, если q(x)< 0 на бесконечном интервале (а,+ оо), то в силу леммы 2 любое ненулевое решение уравнения (2) имеет на интервале (а,+ оо) не более одного нуля, т.е. оно является неколеблющимся. Если q(x) >т> 0 на (а,+ оо), то из теоремы сравнения следует, что любое нетривиальное решение уравнения (2) имеет на интервале (а,+ оо) бесконечное множество нулей, т.е. оно является колеблющимся.
Пример 2. Исследовать колебательный характер решений уравнения Бесселя
1 ( \,2'
у = 0, х>0, v = const>0. (11)
у"+-у’ +
X
Решение. Заменяя в уравнении (11) неизвестную функцию у(х) по формуле (3):
z(x)
y(x) = z(x)e х =—г,
у/Х
для z(x) получаем дифференциальное уравнение
v2-1/4'
z\x) +
1-
х2
z(x) = 0. (12)
В (12) коэффициент при z больше единицы при v2 <1/4 и меньше единицы при v2>1/4. Поэтому, сравнивая уравнение (12) с уравнением м"(х) + и(х) = 0, получим, что расстояние между соседними нулями любого решения уравнения Бесселя больше л при v > 1/2 и меньше л при 0<v<l/2. Если v = 1/2, то расстояние между соседними нулями функций Бесселя в точности равно л. Этот факт очевиден, так как соответствующая функция Бесселя имеет вид
JV2(x)= —sinx. у лх
Заметим, что при х—»+оо коэффициент при z в уравнении (12) стремится к единице, поэтому при достаточно больших х расстояние между соседними
нулями решений уравнения (11) как угодно близко к числу п, т.е. колебательный характер функции Бесселя •/„(*) приближается к
колебательному характеру функции sinjc при больших х.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
L(y) = у” + р(х)у'+ q(x)y = f(x), а <х <b , (13)
где р(х), q(x), /(jc) - заданные на (а,Ъ), непрерывные функции, причем р(х) и q(x) ограничены на (а,Ь).
Теорема 3 (внутренний принцип экстремума). I. Если всюду на интервале (a,b)
q(x)<0 и f(x)>0 (f(x)<0) (14)
или
q(x)<0 и f(x)>0 (f(x)<0), (15)
то любое решение j/ (jc) уравнения (13) на (a,b) не может иметь точек положительного (отрицательного) локального максимума (минимума).
II. Если всюду на интервале (a,b)
q(x) <0 и f(x)>0 (f(x)<0), (16)
то любое решение у(х) уравнения (13) на (a,b) не может иметь точек положительного (отрицательного) локального максимума (минимума), когда оно не обращается в постоянную на (a,b).
Если в обоих случаях дополнительно решение .y(jc) непрерывно на [а, Ь\, то наибольшее (наименьшее) положительное (отрицательное) на [а, Ь\ значение j/ (jc) достигается только на концах этого сегмента.
Доказательство. I. Пусть решение j/(jc) уравнения (13) в точке х0 е (а,Ь) достигает положительного локального максимума. Тогда в этой точке у'(х0) = 0, у"(х0) < 0 (см. гл. 1, § 7, 16) и
ДЯ*о)) = /(*о) + Фо)у(х0) •
Пусть выполнены условия (14). Тогда Z(>,(^0))<^’ чт0 противоречит
неравенству Z(>’(xo)) = /(xo)>0. Если выполнены условия (15), то снова
получаем противоречивые неравенства: ^(уОо)) < 0 и Z(j/(jc0)) = /(хо)>0.
II. Пусть теперь выполнены более слабые условия (16). Обозначим через U = (jc0-?,х0 + ?•) <= (а,Ь) окрестность точки х0, где решение ^(jc) достигает
положительный максимум, т.е. j/(jc) < ^(Xg) при всех х е U ¦ Пусть
U0 = {jc е (J | уОО = Х^о)} • Очевидно, множество U0 ограничено. В силу
непрерывности решения ^(jc) на (а,Ь) множество U0 замкнуто. Тогда в (J0
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed