Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 126

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 283 >> Следующая

от -о" + 4о'-4о = х<рт + 3<р" -х<р" -2(р’ + 4х(р’ + 4(р-4х(р
- - 4хср’ -12ср + 4хср - 2(р’ + 4хср' + 4ср - 4хср = - 2ср' -8(р =
= 4 A sin 2х - 4 В cos 2х-8А cos 2х-8 В sin 2х = 20 sin 2х.
Отсюда
J 4А-8В = 20, \А-2В = 5,
[ 8у4 + 45 = 0 ° [2А + В = 0
и А = 1, В = -2. Тогда общее решение уравнения (18) определяется по формуле
у(х) = и (х) + о (х) =
= Схех + С2 cos 2х + С3 sin 2х + х (cos 2х - 2 sin 2х).
§ 9. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя. Гипергеометрическое уравнение
1. Теорема существования и единственности решения. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами второго порядка и выше не всегда интегрируются в квадратурах. При определенных условиях такие уравнения удается интегрировать на основании представления искомого решения в виде обычного или обобщенного степенного ряда. Рассмотрим уравнение второго порядка
у"(х) +р(х)у'(х) +q(x)y(x) = 0, а<х<Ь. (1)
Предположим, что коэффициенты р(х) и q(x) уравнения (1) являются аналитическими на промежутке (а, Ь) , т.е. в окрестности U(x0, г) а (а, Ь) каждой точки х0 разлагаются в сходящиеся степенные ряды :
р(х)=т Pn(x-XoY ’ Я(х)=Т1Яп(х-ХоУ , (2)
п=0 п=О
где х е U(*o’ г) ¦ т е- | х-х01 с г.
Теорема Коши. Если функции р(х) и q(x) аналитичны на (а, Ь), то в
некоторой окрестности (J (х0, г) точки х0 е (а, b) существует
единственное аналитическое решение у (л) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
У(х0) = Уо’ У'(х0) = у1, где у0 и У\ ~ заданные действительные числа. Это решение имеет вид
+00
У(х) = Уо+УЛх-х0) + '? сп(х-х0У , xeU(x0, г), (3)
п=2
при этом коэффициенты сп определяются через коэффициенты рп и qn рядов (2).
Эта теорема позволяет искать решение у(х) уравнения (1) в виде суммы степенного ряда (3). Для определения коэффициентов сп надо подставить ряды
(2) и (3) в уравнение (1) и, приравнивая к нулю коэффициенты при степенях: (x-x0)0, (х-л:,))1, (х-х0)2, получить рекуррентную систему относительно сп через pnw qn.
Пример 1. Интегрировать линейное дифференциальное уравнение
yn-xy = 0, xeR. (4)
Решение. Решение у(х) будем искать в виде степенного ряда по степеням х:
+оо
у(х) = с0 +с:х + с2х2 +с3х3 +... + спхп +... = X спхп . (5)
п=О
Формальным дифференцированием ряда (3) получим:
у"(х) = 2 • 1 ¦ с2 + 3-2 -с3х+ ... + п ¦ (п -'1) • спхп~2 + ... =
+оо +оо
= ^й'(й-1)-с/"2 = X (k + 2)-(k+l)-ck+1xk. (6)
и=2 к=0
Подставляя ряды (5) и (6) в уравнение (4), будем иметь
+оо +оо +оо
X (к + 2)-(к + 1)-ск+2хк -2Х*"+1 =2-1 -с2 +Х (к + 2)-(к + 1)-ск+2хк -
к= 0 п=0 к=1
+00 +00
~ЪСк-\Хк =1с2 +Z [(* + 2)-(*+'l)-C*+2-C*-1]*t =0 »
к= 1 к=1
откуда, приравнивая к нулю коэффициенты при степенях х, получим
х°: 2 • 1 ¦ с2 = 0,
хк: (к + 2) ¦ (к + \) ¦ ск+2 -ск_х =0, к = 1,2, ... . (7)
Полагая здесь с0 = 1 и сх= 0, последовательно найдем значения остальных
коэффициентов:
2-3 2-3-5-6
1
с7 =ся -0, cQ = , ,
7 8 9 2-3-5-6-8-9
т.е. отличными от нуля будут лишь коэффициенты ск, у которых индекс к делится на 3. Тогда
= 0 =______________1_____________1-4-7-...-(3*-2)
Сзл+1 Сзл+2 ’ °3п 2-3-5-6-8-9-...-(3*-1)-3* (ЗА:)!
и построенное решение имеет вид
, ч , К 1-4-7- ... • (Зи-2) Зл
>'iW = l + Z---------7Z-T.-----* ¦ (8)
„=1 (Зи)!
Для построения второго решения в (7) положим, что с0 = О и Cj=l. Аналогично имеем
С2 0, С. “ ~ , Сг 0, С-т
23 ’ 4 3-4’ 56 ’ 7 3-4-6-7
Со cq 0, с, п
10 3-4-6-7-9-Ю
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed