Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 134

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 283 >> Следующая

Лемма 2. Если всюду на интервале (a,b) функция q(x)<0, то все нетривиальные решения уравнения (2) являются неосциллирующимися.
Доказательство. Допустим, что некоторое нетривиальное решение у(х)
уравнения (2) на (а,Ь) имеет, по крайней мере, два нуля: >>(jc,) = у(лс2) = 0 , хх<х2. На отрезке [хх,х2] по лемме 1 может быть только конечное число нулей. Не теряя общности рассуждений будем считать, что jc, и х2 - два соседних нуля, т.е. при jc, < х < х2 непрерывная функция .y(jc) не меняет знака. Для определенности положим у(х) > 0 на (jc,,jc2) (в противном случае вместо у(х) рассмотрели бы решение - у(х)). В силу теоремы единственности у'(хх)ф 0. Поскольку з/(х)>0 на (jc,,jc2), то у'(хх) > 0 и у”(х) = -q(x)y(x) > 0 на (jc,,jc2). Следовательно, функция у'(х) возрастает на (хх,х2) и из У(х,)>0 следует у'(х) > 0 на (jc,,jc2). Тогда .y(jt) строго возрастает на [x,,jc2] и из з/(лг,) = 0 следует >>(jc2)>0, что противоречит равенству у(х2) = 0.
Теорема 1 (теорема Штурма о чередовании нулей). Нули двух любых линейно независимых решений уравнения (2) строго чередуются, т.е. на интервале между любыми двумя соседними нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения.
Доказательство. Пусть ух (х) и ,y2(jc) линейно независимые на (а,Ь)
решения уравнения (2). Тогда вронскиан W(x) этих решений не равен нулю при всех хе (а,Ь). Заметим, что у этих решений нет общих нулей. В самом деле, если в точке х0: ух (х0) = у2 (х0) = 0, то в этой точке Ж(х0) = 0,
следовательно, решения ух(х) и у2(х) линейно зависимы на (а,Ь). Предположим, что на интервале (х,,х2) между соседними нулями решения _У)(х) нет нулей решения у2(х). Тогда на отрезке [х,,х2]: у2(х)ф0, W(x) Ф 0 и производная
Г
_ У\Уг ~ УхУг = W(x) уУг^)) У22(х) У2(х)
сохраняет знак. Поэтому функция yi(x)/y2(x) строго монотонна на сегменте [х,,х2]. Но это невозможно, так как _у, (х,) = ух (х2) = 0 . Следовательно, в интервале (х,,х2) есть нули решения ,у2(х). По лемме 1 их конечное число. Если их более одного, то на интервале между ними не было бы ни одного нуля решения ух (х), что невозможно уже по доказанному выше. Значит, на интервале (jc,,x2) содержится ровно один нуль решения ,у2(х).
Примером, иллюстрирующим теорему Штурма, являются два линейно независимых решения ^,(x) = sinx и y2(x) = cosx уравнения у" + у = 0; их нули действительно строго чередуются между собой, т.е. взаимно разделяют друг друга.
Следствие 1. Если на интервале (a,b) одно решение уравнения (2) имеет более двух нулей, то все решения уравнения (2) - колеблющиеся.
Таким образом, теорема Штурма устанавливает «одинаковый» характер колебаний всех решений одного и того же уравнения.
Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть даны два дифференциальных уравнения
у" + q{x)y = 0, a < х < b, (2)
z" + q{x)z = 0 , a < х < Ъ, (6)
где q(x)>q(x) на (a,b), функции q{x) и q(x) непрерывны на (a,b). Тогда между любыми двумя соседними нулями любого ненулевого решения _у (х) уравнения (2) имеется по меньшей мере один нуль любого ненулевого решения z(x) уравнения (6), если на интервале между этими соседними нулями решения у (х) существуют точки, в которых q (х) > q{x).
Доказательство. Пусть х, и х2 - любые соседние нули решения у(х)
уравнения (2). Допустим, что между ними нет ни одного нуля решения z(x)
уравнения (6). Без ограничения общности будем считать, что у(х)>0 и z(x) > 0 на (х,,х2) (если не так, то вместо у \л z можно рассмотреть решения -у(х) и -z(x)). Тогда функция _у(х) будет возрастать вправо от точки х, и 318
убывать влево от х2. Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши для уравнения (2) У(х,)>0 и У(х2)< 0. Функция z(x) будет неотрицательной на [х,,х2]. Умножая уравнение (2) на z(x), а уравнение (6) на у(х) и вычитая полученные тождества, имеем
y"z-z"y + (q(x)-q(x))yz = 0. (7)
Поскольку y"z-z"y = (y’z-z'y)', то, интегрируя тождество (7) по х от х, до х2
и с учетом того, что у (х,) = у (х2) = 0, получим
*2
y'(x2)z(x2)~ y'(xx)z(xx) = $(q(x)-q(x))y(x)z(x)dx . (8)
Поскольку У(х2)<0, У(х,)>0, z(x2)>0, z(x,)>0, то левая часть (8) неположительна, в то время как правая часть положительна. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
Следствие 2. Пусть 1) выполнены условия теоремы 2; 2) хх и х2 -любые соседние нули решения у(х) уравнения (2) и между этими нулями существуют точки х, в которых q (х) > q(x) . Тогда если точка х, является нулем решения z(x) уравнения (6), то ближайший справа от х, нуль решения z (х) расположен левее, чем х2.
Теорему сравнения часто применяют, используя в качестве одного из уравнений (2) и (6) уравнение с постоянными коэффициентами (5).
Пример 1. Оценить сверху и снизу расстояние между соседними нулями для решений уравнения (2):
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed