Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 138

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 283 >> Следующая

«1 У(а)-рху'{а) = 0>, сс2уф) + р2у'(Ъ) = 0, (7)
где г(х) - заданная непрерывная на [a, Ь\ функция; Л - действительный
или комплексный числовой параметр. Значения параметра Л, при которых
задача (6) и (7) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями), а соответствующие им нетривиальные решения -собственными функциями задачи на собственные значения.
Пусть функции и(х) и и(х) из класса С2[а, Ь\ удовлетворяют соответственно уравнениям (1) и (5), т.е.
L(u) = —f (х), L(u) = -g(x).
Тогда справедливо равенство
vL(u) - и L(o) =
dx
р(х)
v-
du do
-и-
= -[/МФО-#(*)«(*)]¦ (8)
dx dx
Для доказательства тождества (8) достаточно уравнение (1) умножить на о(х),
а (5) на и(х) и полученные равенства почленно вычесть одно из другого.
Интегрируя тождество (8) по х в пределах от а до Ъ, получим так называемую формулу Грина
О
| [u L (и) - и L (u)]d!x =
р(х)
du do v----------и
(9)
I а
dx dx
Из формулы (8) следует, что если ух(х), у2(х) - два линейно независимых решения однородного уравнения L(y) = 0 (f(x) = g(x) = 0), то они удовлетворяют равенству
р(х)
У\
dy2 dyx
Уг
= Р Уг - Уг у[] = С = const •
— - (1°) р(х)
В формуле (10) значение постоянной С можно определить с учетом нормировки решений однородного уравнения L(y) = О, так как решения этого уравнения определяются с точностью до произвольного постоянного множителя.
Замечание 2. Равенство (10) позволяет найти общее решение уравнения L(y) = 0, если известно какое-либо его частное решение ух(х). Действительно, тогда любое линейно независимое с уДх) решение у(х) уравнения L(y) = 0 удовлетворяет линейному уравнению первого порядка
dy _ с
У1(х) — -У(х)-^= , Л
ах ах р(х)
Если уДх) ф 0 на [а, Ь\, то, поделив последнее уравнение на у2(х), получим
d_
dx
У(х)
уА*).
С
р(х)у2(х)
Интегрируя данное равенство, находим общее решение однородного уравнения
L(y) = 0:
dx
У(х) = С1у1(х) + Су1(х)\ . (11)
р(х)ух(х)
где С и С, - произвольные постоянные.
2. Единственность и существование решения краевой задачи.
Функция Грина
Вначале докажем единственность решения краевой задачи (1) и (3). Теорема 1. Пусть выполнены условия (2) и существует решение задачи (1) и (3). Тогда если
1) Д = Р2 = 0, то решение первой краевой задачи единственно;
2) ax=a2-0 и функция q(x) не тождественно равна нулю на (a, b), то решение второй краевой задачи единственно;
3) ax=a2=0 и q(x) = 0 на (а, Ъ), то решение второй краевой задачи определяется с точностью до постоянного слагаемого;
4) ах Д > 0 и а2 Д > 0, то решение третьей краевой задачи единственно. Другими словами, при указанных, кроме случая 3), условиях Л = 0 не является собственным значением соответствующей однородной краевой задачи.
Доказательство. Пусть существуют два решения ^(х) и у2(х) задачи
(1) и (3). Рассмотрим их разность ух (х) - у2 (х), которую обозначим через у(х),
т.е. >’(^) = >’1(x)->’2(x). Функция y(x)eC2[a,b] и является решением однородной краевой задачи :
L(y) = L(yl-y2) = L(yl)-L(y2) = -f(x) + f(x) = О, (12)
«1 У (а) ~ А У'(а) = «, [ У1 (а) ~ У2 («)] - А [ У (а) “ у'г (а)] =
= [щ ух (а) - А У (а)] - [аг, >>2 (а) - Д У (а)] = у0 - у0 = О, (13)
а2 у (Ъ) + Д2 у (6) = а2 [ у, (6) - у2 (6)] + Д2 [ у[ (Ъ) - у\(6)] =
= [«2 У\ (Ь) + Рг У[ (6)] - \-аг У г Ф) + А У (6)] = Я “ Я = 0 ¦ (14)
В силу (12) рассмотрим тождество
dy
yL(y) = y~ dx
Р{х). dx
-q(x)y (х)эО.
Интегрируя данное тождество по х от а до Ъ, получим
\y{x)j-\P W/(*)] dx~ Ых)y\x)dx = 0.
а д
Первый интеграл в левой части последнего равенства интегрируем по частям. Тогда имеем
\[Р(Х)У'2 (*) + Я (*) У2 (*)] dx + р (а) у {а) у'{а) -р(Ь) у (Ъ) у'(Ь) = О. (15)
а
Если А = А = 0. то граничные условия (13) и (14) принимают вид у(а} = у(Ь) = 0. Тогда из (15) с учетом (2) получим
ь
\ p(x)y'2(x')dx = 0. (16)
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed