Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
т.е. здесь отличными от нуля будут лишь коэффициенты ск, у которых индекс
к = Зи +1, и = 1, 2, 3,... . Поэтому
_ _0 _______________1_______________ 2-5-8-11-...-(Зи-1)
сз„-1-сз„- - сзл+1 _з.4.6.7.9.10.....(3„).(Зй + 1) “ (Зи + 1)!
и второе решение определяется в виде сумы ряда
, ч й 2-5-8-...-(Зи-1) 3л+1
у2(х) = х +X------------------ (9)
t\ (Зи + 1)!
Найденные ряды (8) и (9) сходятся при любом х из R, в чем можно убедиться на основании признака Даламбера (см. § 11, гл. 1). Решения уДх) и
у2(х) линейно независимы на числовой прямой, поэтому их линейная комбинация
y(x) = alyl(x) + a2y2(x), xeR,
где ах \л а2 - произвольные постоянные, определяет общее решение уравнения (4).
В приложениях теории дифференциальных уравнений часто встречаются уравнения вида
у"(х) + Р^-у'(х) + -q(х\ у(х) = о, a<x<b, (10)
(х-Х0)
где х0 е [а, b], р(х) и q(x), как и в уравнении (1), аналитические функции или
просто многочлены, здесь точка д:0 называется особой точкой уравнения (10).
В окрестности особой точки л:0 решение уравнения (10) в виде суммы степенного ряда (3) может не существовать. Поэтому в таких случаях решение
>>(X) уравнения (10) следует искать в виде обобщенного степенного ряда
+оо
Я*) = (*-*оК X Сп(Х~Хо)"’ (11)
л=0
где числа р и сп (с0 * 0) подлежат определению.
Подставив в уравнение (10) ряды (2) и (11), приводя подобные члены и приравняв к нулю коэффициенты при степенях х-х0: (х-х0)р, (jc-jc0)p+1,
(х-х0)р+2, ... , получим рекуррентные алгебраические уравнения относительно
р и сп. При этом число р должно быть корнем уравнения
p(p-\) + p0p + q0=0, (12)
которое называется определяющим уравнением в особой точке л:0.
2. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя
Дифференциальное уравнение вида
у-(х) + -у\х) +
X
( 2 Л
V Л У
>>О) = 0, л: > 0, (13)
где v - заданное неотрицательное действительное число, называется уравнением Бесселя. Уравнение (13) находит широкие применения в различных вопросах физики, механики, астрономии и техники. В случае уравнения (13)
р(х) = p0=l, q(x) = x2-v2, q0=-v2, х0=®- Тогда из уравнения (12)
имеем
р2 -v2 =0 или px=v> 0 и р2= - v.
Решение уравнения (13) будем искать в виде обобщенного степенного
ряда
+00 +00
У, О) = ху X = X ху+н • (14)
п=0 л=0
Исходя из ряда (14), вычислим:
*УО)= X (У + ”)сн ху+я -
п=О
+00
х2у'(х) = X (v + n)(v + n-i)c„ xv
n=О
+00
О - V )^(х) = X (-v )с„ xv+n + X cn_2 xv+e.
я=0 n=2
Подставляя эти значения в уравнение (13), предварительно умножив обе части его на х2, получим
1 +О0
X [iy+n?-v2}cnxv+n + YX((v+n)2-у2)сп+сп-2]*v+n =о.
л=0 n=2
Отсюда, приравняв коэффициенты к нулю при степенях х, имеем
jT1 : [(v + l)2-v2]c,=0, xv+n : [(v + ri)2-у2]с„+сп_2 =0, п = 2, 3,... .
Полагая здесь с0 * 0, последовательно найдем значения остальных коэффициентов:
с, = 0, с2 =------—---, с = 0, с. =-----------—-----------, с5 = 0,
1 2 2 ¦ (2v + 2) 3 4 2 • 4 • (2v + 2) ¦ (2v + 4)
-сп
С2к =
2 • 4 • 6 • (2v + 2) • (2v + 4) • (2v + 6) (-1)* c0
2 • 4 • 6 •... • (2k — 2) • (2k) • (2v + 2) • (2v + 4) •¦ (2v + 2k-2)- (2v + 2k)
(-1)* Г(у+ l)c0 k\T(v + k + \)2lk
где Г() - гамма-функция, изученная в гл. 1, § 23, п. 7. Постоянную с0 подберем так, чтобы
c02vr(v + \) = \. (15)
Тогда, подставляя найденные значения коэффициентов сп в ряд (14), с учетом равенства (15) построим первое решение уравнения (13)
/ Л\ к / \ 2Л+У
yx(x) = Jv(x)=1L-------И--------(-) (16)
1 ' " tok\T(v + k + \)\2)
Первое решение уравнения (13) называют функцией Бесселя первого
рода v- го порядка или цилиндрической функцией первого рода и обозначают символом Jv(x). На основании признака Даламбера нетрудно доказать, что обобщенный степенной ряд (16) сходится абсолютно и равномерно при любом х>0. Вопрос определения функции Jv(x) для отрицательных х связан с
