Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 129

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 283 >> Следующая

(27)
( 1 , ^ 1 ( 1 Л ( 1 ^ ( 1 AJ
--+ & + 1 ---+1 ¦ --- + 2 к..- --- + к Г
ч 2 , 2 V 2 J ч 2 ) 1 2 J {
Ill 2 2 2
2k —\
2
{2k)\4n
•Г
' Г 1 ^ ( п
= ---Г ---
ч 2, 2 V 2,
С
l-3-...-(2Jfc-l)
2-4-6-...-(2Jfc)-2*
W'-'1* *-0 12 k\2lk ’
= —2у[л. Подставляя значения гамма-функции (27) и (27,)
так как Г
v ^ J
соответственно в ряды (16) и (17), получаем
г , ч 2 - (-l)*x2i+1 2 .
J,(x)= —> -------------------= -------sinx,
2 у л х к=о (2 к +1)! у л х
к 2 к
COSJC .
(28)
(29)
2 ч лх к=о (2к)\ у лх
Таким образом, функции Jx (х) и /, (х) выражаются через
2 ~~2
элементарные функции. На основании рекуррентной формулы (25) нетрудно выразить функцию J , (х) через элементарные функции.
п+-
2
Графики функций Jv(x) и ГД.х) для некоторых целых значений v при х > 0 приведены на рис. 3 и 4.
Рис. 3
Рис. 4
Если в уравнении (13) заменить х на iх , то оно примет вид
1 + ~
V * У
и (д:) = 0, л: > 0,
(30)
где o(x) = y(ix). Если v не является целым числом, то функции vi(x) = Jl/(ix) и v2(x) = J_v(iх) являются линейно независимыми решениями уравнения (30).
Подставляя в (16) значение ix вместо х, получим
- (-1 )Ч2к
ox(x) = Jv(ix) = iv X
или
k\r(v + k + \) Jv(ix) = iv Iv(x),
(31)
где
1ЛХ) = И
1
/ ч 2 k+v
X
(32)
*=о к! Г (у + к +1) v 2 у
Аналогично определяется функция /_„(.*). Функции Iv(x) и I_v(x)
являются при х > 0 линейно независимыми решениями уравнения (30) и их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода v-ro порядка.
20 — 5026 305
КЛ*) = -
п
[Lv(x)-Iv (х)\
(33)
2/ \ *• -V \ / 1/X /J V/
sin (У П)
также является решением уравнения (30). Ее называют модифицированной функцией Бесселя третьего рода или функцией Макдональда. Нетрудно
заметить, что
K_v(x) = Kv(x). (34)
Пусть v = ne N . Тогда
1-п(х) = 1А*)- (35)
Отсюда следует, что функции 1п(х) и /_„(*) не образуют
фундаментальную систему частных решений уравнения (30), поэтому в качестве такой пары выбирают функции 1п(х) и -K„(jc) , где
*„(*) = lim *,(*) =
(-1)"
dl-v dlv
Вычисления показывают, что
\ л+1
I Z к=о
ду ду
f \2 к-п
(n-k-1)! к\
+
I к=0
гх)2к+п х?(п + к + 1) + х?(к+1)
, п = 0,1, 2,..
(36)
2) к\(п + к)\
где при п = 0 в формуле (36) конечная сумма отсутствует.
Для функций Iv(x) и Kv(x) справедливы следующие рекуррентные соотношения:
Л-, W - -U W =—I. М. W+К» W = 2 ш.
X
W - (*> = -—К( х), Ку_, (х) + К,л (х) = -2 К’Хх),
X
в частности,
I'0(x) = Il(x), К'0(х) = -К1(х).
Модифицированные функции Бесселя, как и функции Бесселя, выражаются в конечном виде через элементарные функции только в том случае, когда v является половиной нечетного числа. Например, на основании формул (31), (28), (29) и (33) имеем
_! _1 1Х (х) = i 2JX (ix) = i 2 2 2
2 2 sinjc/
----smju=---------------
71 XI e
71X I
shx,
nix
chjc,
71
71
2x
*.00 = 7 /,(*)-/,(*)
2 L 2 2
здесь использованы формулы Эйлера для комплексных функций sinz и cosz (см. гл. 1, § 23, п. 5), shjc и chjc - гиперболические функции синус и косинус.
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed