Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
существуют inf U0 = а и sup U0 = Р и а>Р е U0 ¦ Не теряя общности будем
считать, что U0 = \а,Р\ ¦ Докажем, что U0 = U ¦ Пусть это не так, т.е. U0 <= U и
U \ U0 * 0 • Тогда | х0 -s-a \ > О или | х0+?-/? | > 0. Пусть для
определенности \x0+s~p\ = S>0. Обозначим через х* - любую точку
интервала (P,x0+s) на расстоянии р0 = \ (3-х* \ > 8/2 . Пусть
U! = (J3~ Pi,P + А) - окрестность точки р, 0 < рх <8/2. В окрестности U! рассмотрим барьерную функцию
v(x) = e~yr -е“т ,
где г = |х-х*|, у - положительная постоянная. Число у выберем настолько большим, чтобы при всех х е Uj имело место неравенство
L(v) = е~уг {4у2(х-х*)2 -2y[l + p(x)(x-x*i)'\ + q(x)\\-er(r _/,о)]} > 0, что возможно, так как (х-х*)2 > (р0 -д)2 > 0 и коэффициенты р(х) и q(x) ограничены на Up Тогда при всех х е Uj и Л > 0 справедливо неравенство
Ь(у + Ли) = Ь(у) + ЛЬ(о) = f (х) + ЛL(v) = g(x) > 0. (17)
Выберем постоянную Л > 0 настолько малую, чтобы на концах интервала 1^ имело место неравенство: у(х) + Ли(х) < у(х0). Для функции
z(x) = у(х) + Ло(х) в силу (17) выполнены условия (15). Тогда для всех х е Ui: z(x) < ,у(х0). С другой стороны, в точке х = р: z(P) = у(Р) + Ли(Р) = у(Р) - ,у(х0). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
Следствие 3. Пусть q(x) < 0 и /(х) = 0 и у(х) - непрерывное на
[a,b] решение уравнения (13), тогда при всех х е [а, Ь\ справедливы оценки:
а) min{j/(a),^(6)} ^ У(х) < так{у(о),у{Ь)},
б) | у(х) | < тах{| у(а) |,| уф) \ }.
Следствие 4. Пусть q(x)< 0 и /(х)< 0 (>0) на (a,b) и ^(х) -непрерывное на [а, 6] решение уравнения (13). Тогда
1) если у(а) >0 (< 0) и у(Ъ) >0 (< 0), то j/(x) >0 (< 0j на (a,b);
2) если y(a) >0 (<0) и у(Ъ) >0 (<0), то у(х) >0 (< 0) на (a,b).
Доказательство проводится методом от противного.
Следствие 5. Пусть q(x)<0, ух(х),у2(х) & C[a,b]r\C2(a,b),
?Oi) = /i(*)> L{y2) = f2{x) и f,{x)<f2{x) на (a,b). Если Л(х) > у2(х) в точках а и b, то уХ(х)> у2(х) всюду на (a,b).
Доказательство. Расмотрим разность у(х) = у{ (х) - у2 (х), которая удовлетворяет условиям следствия 4. Тогда у(х)>0 или ^(х) > у2(х) на (a,b).
Теорема 4 (граничный принцип экстремума). Пусть: 1) q(x) <0 и /(х)> 0 (fix) <0) на (a,b); 2) у(х) - отличное от постоянной решение уравнения (13) из класса С1 [а,Ь\; 3) шах у(х) - у(х0) > 0
а <х<Ь
( min у(х) = ,y(x0) < 0). Тогда y'(b) >0 (< О), если х0 = Ъ и у'id) < О (>0),
а<х<Ь
если х0 = а.
Доказательство. Пусть max у(х) = ,у(х0) > 0. Тогда в силу теоремы 3
а<х<Ь
точка х0е{а,Ь}. Для определенности пусть х0 = b. Ясно, что У'Ф) > 0. Докажем, что у'ф) >0. Пусть х* - фиксированная точка (а,Ь) на расстоянии р0 = | х*-Ь | > 0. Пусть 0 < рх < р0. На интервале Uj = Ф ~ Р\,Ъ) введем в рассмотрение вспомогательную функцию
и(х) = е~ГРо -е~уг ,
где у - положительная постоянная, г = г(х) = | х-х* | - расстояние от точки
х* до любой точки х е Ц = [b-pvb\. Функция и(х) при xeUp u(x)<0,
так как г < р0 и о (Ь) = 0, так как г{Ъ) = р0. В силу теоремы 3: у(х) - у(Ь) < 0
на \b-px,b). Выберем постоянную Л> 0 настолько малую, чтобы на концах
сегмента [Ъ-рх,Ь\ имело место неравенство: у{х) - у{Ъ) - Ло{х) <0. На
интервале Ui введем новую функцию z(x) = у(х) - уф) - Ло(х), которая является решением уравнения
L(z) = L (у(дс) - уф) - Ли(х)) = L(y(x)) - L(y(b)) - Щи) =
= fix) ~ Я(х)уФ) ~ Л Ци) = g(x).
За счет выбора постоянной у всегда можно считать, что Ди) < 0 на Ui (см. доказательство теоремы 3). Тогда g(x) > 0 на Up Таким образом, функция z(x) непрерывна на сегменте Ц, в интервале (6- рх,Ъ) является решением уравнения L(z) = g(x), где правая часть g(x)>0, и z(x)<0 на концах сегмента \b-px,b\. Тогда в силу следствия 4 функция z(x) < 0 на (b — px,b).
Поскольку z(x) < 0 на Ui и z(6) = 0, то функция z(x) в точке х = Ъ достигает наибольшего значения. Тогда z\b) > 0 и у\Ь)-Ли\Ь) > 0. Отсюда
у'ip) > 2Лрйе~у Ра > 0, что и требовалось доказать.
Теперь покажем применение теорем 3 и 4 при решении следующей задачи.
Пример 3. Пусть существует из класса Сх\а,Ь\ решение у(х) уравнения (13), где qix) < 0 и qix) Ф0, /(х) = 0, удовлетворяющее одному из граничных условий:
а) у(а) = 0, уф) = 0; б) У(а) = 0, у'ф) = 0;
в) аху(а) - ДУ (а) = 0, а2уф) + Р2у'ф) = 0, где а{, Д. - заданные действительные числа одного знака, i = 1,2. Тогда ^(х) = 0 на [а, Ь].
Решение. Пусть >,(х)#0 на (а, Ъ). Тогда существует точка х'е(а,Ь) такая, что у(х')ф 0. Пусть для определенности >,(х')>0. Тогда max у(х) = ,у(х0) > 0, х0 е [а,Ь~\. Поскольку q(x) < 0 и /(х) = 0 на (а,Ь), то
а<х<Ь
в силу теоремы 3 значение у (х0) достигается только на концах сегмента [а, 6], т.е. в точках а и Ъ , если у(х) Ф const.
В случае а) ,у(х0) = у(а) = 0 или ,у(х0) = у(Ь) = 0, чего быть не может. Следовательно, ^(х) = const = С0 на [а, Ь]. По условию функция у(х) непрерывна на [а, Ь] и у (а) = у(Ь) = 0, то у(х) = С0 = 0.
