Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Функция /(jc) при jc > 0 положительная и строго возрастающая функция, а функция Kv{jc) также положительная при jc > 0, но строго убывающая.
На рис. 5 и 6 приведены графики функций Iv{х) и ^(jc) для некоторых значений v.
Рис. 5
Рис. 6
4. Гипергеометрическое уравнение. Функции Гаусса
Дифференциальное уравнение вида
х(1-х)у\х) + [у-(а + /3+1)х]у'(х)-а /3у(х) = 0, -1<л:<1, (37)
где а , Р и у - заданные постоянные числа, называется гипергеометрическим уравнением, или уравнением Гаусса, а, Р и у - параметрами уравнения. Точки л: = 0 и х = 1 являются особыми точками уравнения. В окрестности особой точки х = 0 уравнения (37) на основании геометрического ряда
1 +со , I I
-—, М<1'
\ — х к=о
можно записать в виде
-t-со +СО
[у-(а +P + \)x]Y, *к aPY,xM
/ +-------------------------^—У-------------У = 0. (38)
X X
Уравнение (38) есть частный случай уравнения (10), причем здесь х0 =0,
р0=у, q0 = 0. Соответствующее определяющее уравнение:
р(р-1) + у р = 0 имеет корни рх= 0 и р2=1-у. Корню рг=0 соответствует аналитическое в нуле решение
+оо
У,(х)=Тскхк . (39)
*=о
Исходя из степенного ряда (39), предварительно вычислим:
+00
jt(l-Jt)у"(х) = (х-х2) X k(k-l)ck хк~2 =
4=2
+Х +Х +Х
= х (л + 1)лс„+1 хп -^п{п-\)спхп = ? [(п + \)псп^-п(п-\)сп]хп
п~2 л=1
+00
[у-(а + р + \)х\у[(х) = [у-(а + р + \)х\^ кскхк~1 =
*=1
+00 +00
= («+1K+i *"-(«+/?+i) X ис»х" =
л=0 п=1
+00
= ГС, + Х [г(и + 1К+1-(а + /? + 1)лспК,
п=1
+00
(х) = а fic0+Y, аРсп х" ¦
п=1
Подставляя эти значения в уравнение (37), получим
+00
усх-а/3с0 + ^ [(л + 1)(л + гК+1 ~{п + а)(п + р)сп]хп = 0.
л=1
Отсюда, полагая с0 =1 и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях х, найдем
«? 2,3,.... (40)
^ (и +1) (и +
если уФ О, -1, -2, . На основании рекуррентной формулы (40) вычислим
(а + \)(Р +1) _ а (а +1) /?(/? +1)
2 1 2(у + 1) у(у+Т)2\
_ (а + 2) (Р + 2) _ а (а +1) (а + 2) Р (Р +1) (Р + 2)
Сз_С2 3(у + 2) у (у + 1)(у + 2)3\ ’
а(а + 1)(а + 2)-... (а+к-1)Р(Р+1)(Р+2)-... (Р + к-1) _
с, =
к у(у+1)(у + 2)-...-(у + к-\)к\
(сс)к(Р)
к
(Г)кк'-
(41)
где
(g), =g(g + l)---(g + ”-l) = -"7T^. и = 1» 2> - - 0)о =1-
Г (а)
Тогда, подставляя (41) в ряд (39) при условии уф 0, -1,-2, найдем искомое решение
у, (*) = F (g, p, ? (“\( f!‘ ** - <42>
*=o
Ряд в правой части равенства (42) называется гипергеометрическим рядом, так как при а = 1, у = /3 он переходит в геометрический ряд
+<х> 1
F( 1, р, Р\ х) = X л:* =----, х <1.
*=0 1-Х
Если а = -п или Р - -п, и = 0, 1, 2, ... , у Ф-р, р = 0, 1, 2,... , то ряд (42) обрывается при к-п +1 и представляет собой многочлен степени и. Если а , Р \л у не являются неположительными целыми числами, то в силу признака
Даламбера ряд (42) сходится абсолютно при |х|<1 и расходится при |х|>1.
На основании более тонких признаков сходимости (см. гл. 1, § 11, п. 1) можно исследовать поведение ряда (42) в точках х = 1 и х = -1. Справедлив следующий результат: ряд (42) сходится абсолютно в точках х = 1 и х = -1, если y-a-b>0; сходится условно в точке х - -1, если -l<y — a — b<0; расходится в точках х = 1 и х = -1, если у-а-Ъ<-\. Таким образом, ряд (42) на интервале (-1,1) определяет решение уравнения (37). Сумма ряда (42) называется гипергеометрической функцией или функцией Гаусса и обозначается специальным символом F(a, р, у, х).
