Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы найти Сх(х) и С2(х), функцию (5) подставим в уравнение (1).
Предварительно вычислим у'(х) и у"{х):
у'(х) = Qy[ (х) + С2у'2 (х) + С[ух (х) + С2у2 (х). (6)
Здесь потребуем, чтобы
С']у](х) + С'2у2(х) = 0. (7)
С учетом условия (7) из (6) вычислим
у"{х) = Сху"(х) + С2у"(х) + С[у\{х) + С'2у'2(х). (8)
В равенстве (8) положим, чтобы
С[у\(х) + С'2у2 (х) = /(х). (9)
Теперь равенства (5), (6) и (8) с учетом допущений (7) и (9) подставим в левую часть уравнения (1):
С, (х)У(х) + С2 (х)у"2 (х) + f(x) + р (х) [С, (х)у[ (х) + С2 (х)у'2 (х)] +
+ Я (*)[ С, (х) + С2 (х)^2 (х) ] =
= Ci (х) [ У*х(х) + р (х) у[ (х) + q (х) ^ (х)] +
+ С2 (х)[ у2 (х) + р (х) У (х) + q (х) у2 (х) ] + f(x) = /(х), так как и у2(х) являются частными решениями уравнения (2).
Таким образом, при выполнении условий (7) и (9) функция (5)
удовлетворяет уравнению (1). Для нахождения функций С,(х) и С2(х) имеем систему
J С[(х)ух(х) + С2(х)у2(х) = 0, j С\(х)у[(х) + С2(х)у'2(х) = Дх).
Определитель системы (10) не равен нулю на промежутке (а,Ь) в силу линейной независимости частных решений и у2(х) на (а,Ь). Тогда
система (10) однозначно разрешима относительно функций СЦх) и С2(х). Решая систему (10), получим
СЦх) = ftix), С'2(х) = <р2(х), (11)
где <р^(х) и ^2(х) - известные непрерывные функции на (а,Ь). Интегрируя уравнение (11), находим
С,(х) = (x)dx + С, , С2(х) = JV2(x)dx + С2, (12)
где С, и С2 - произвольные постоянные. Подставляя функции (12) в (5),
получим решение уравнения (1):
у(х) = С,* (*) + С2у2 (х) + у, (х) ftp, (x)dx + у2 (х) j<p2(x)dx, (13)
которое является общим, так как функция (13) есть сумма общего решения (4) однородного уравнения (2) и частного решения неоднородного уравнения (1):
и (х) = я (х) ftp, (x)dx + у 2 (х) j<p2 (x)dx.
Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения
1 71
у"(х) + у(х) =---------------------------, хФ — + к7г, keZ. (14)
cos х 2
и(х) = Схух (jc) + С2у2 (*) = Сх cos х + С2 sin х.
Общее решение уравнения (14) будем искать в виде
у(х) = C^jc)c0sjc + C2(jc)sinjc. (15)
Для нахождения C^jc) и С2(х) воспользуемся системой (10):
С[ (jc) cos х + С'2 ( jc) sin х = 0,
1 (16)
- CJ (jc) sin х + С2 (х) cos х =---.
cos*
Умножим первое уравнение системы (16) на cosjc, а второе уравнение на -sin*. Затем полученные равенства сложим. Тогда находим
. sin х
с;(*) =---------. (17)
cos X
Умножим первое уравнение системы (16) на sinjc, а второе на cosjc.
Складывая полученные равенства, имеем
С'( х) = \. (18)
Интегрируя уравнения (17) и (18), получим:
„ . ч r sin;xdx ~ r d cosx ~ , . ~
Сх(х) = -I----------+ СХ = I----------+ С, =ln cosx + С[,
cosx cos х
С2(х)= jdx + C2 =х + С2 .
Подставляя значения C,(x) и С2(х) в (15), находим общее решение уравнения (14) '¦
у{х)-Сх cosx + C2 sin л: + cosjc In I cosjc I + jcsinjc.
§ 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
Ly = y"(x) + py'(x) + qy(x) = f(x), a<x<b, (1)
где p,q е R, f(x) - заданная непрерывная на промежутке (а, Ь) функция.
Рассмотрим соответствующее (1) линейное однородное уравнение
Ly = y"(x) + py'(x) + qy(x) = 0. (2)
Поскольку мы уже умеем строить общее решение однородного уравнения
(2) с постоянными коэффициентами, то на основании теоремы 1 § 7 для построения общего решения неоднородного уравнения (1) достаточно найти одно его частное решение. Частное решение неоднородного уравнения (1) можно найти, например, методом подбора или методом неопределенных коэффициентов в зависимости от вида функции /(jc) .
Демонстрируем это на следующих примерах.
Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
