Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 117

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 283 >> Следующая

рассуждения, что и для уравнения (4), и взяв —— вместо ф, мы получим, что
д/и
д2 ф
—У существует и непрерывна по совокупности переменных t и /и . Продолжая
д/и
эти рассуждения, после конечного шага убедимся в справедливости требуемого утверждения.
Следствие 2. Пусть при (t,y) е D . \м\< //, выполняются условия II теоремы 3. Пусть при ju = ju0= 0, a<t < J3, a <t0 < /?, решение y(t, О) задачи (4) проходит в области D. Тогда решение y(t,ju) задачи (4) при a <t < J3 разлагается по формуле Тейлора (см. гл. 1 §7) по степеням параметра ju:
у(*,м) = у0(0 + у1(0м + -+уР(0мр +o(MP)> (11)
где y0(t) = y(t,0).
Чтобы найти j/,(t), y2(t), ¦¦¦, ур{^) , надо (11) подставить в (4) и разложить
правую часть по степеням ц до /ip включительно. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях //, получим дифференциальные уравнения с
начальными условиями относительно yk(t), к = \,р. Решая их, находим
неизвестные коэффициенты yk(t) разложения (11).
Замечание 2. Дифференциальное уравнение из (8) называют уравнением в вариациях. Если известно решение q>(t,ju0) задачи Коши (4) при /л = /л0, то
при значениях ju , близких к ju0, функция <p{t,ju) приближенно определяется по формуле
9 (t, ju)*<p (t, ju0) + d(p ^ {ju - ) .
OJU
d(p{t,ju0)
А функция —--------— легко определяется как решение линеиного уравнения в
dju
вариациях.
Пример 1. Найти производную по параметру — при ju = 0 от
dfj.
решения задачи Коши:
y' = y + ju{t + y2), у{0) = 1 + р2.
dy{t,ju)
Решение. Производная
dju
= u(t) является решением
линейного дифференциального уравнения
т = Шм)
и'it) — и +1 + у2 it,0), (12)
удовлетворяющего начальному условию м(0) = 0, так как
^ _д_
dju
является решением задачи Коши: у’ = у , у(0) = 1. Решение этой задачи имеет вид .у(?,0) = е‘. Подставляя .у(?,0) = е‘ в уравнение (12), получим задачу Коши:
л (1 + ^ >
i=o ди
v=a ^
= 0. При этом yit,ju) 1^=0 =У(*, 0)
м=о
u'(t) = и +1 + e2t, u(0) = 0, решение которой имеет вид
dy(t,ju)
= u(t) — e -t — 1.
dju fj=o
Пример 2. Найти разложение решения задачи Коши
у =-у2 + ~~, Я1) = 1 + 3// (13)
по степеням параметра /и до второго порядка включительно.
Решение. Правая часть уравнения при ?>0 (или ?<0) имеет производные любого порядка по у и ц. Условия следствия 2 выполнены для
любого р , пока решение задачи (13) при ц = 0 проходит в области t >0 . При
/и = 0 решение задачи (13) определяется по формуле y(t,0) = l/t. Тогда
1 1
^0(0 = - и y(t,ju) = - + yl(t)ju + y2(t)juz +o(juz) подставим в данное
уравнение и начальное условие, т.е. удовлетворим условиям задачи (13). При этом члены порядка о(/л2) не пишем. Тогда относительно y^t) и yz(t) получим следующие уравнения и начальные условия:
У(0 = ~у^(0 + у. J>i(l) = 3; (14)
У(0 = -ул(0-^2. У2 (0 ~ * (15)
Решение задачи Коши (14) равно _у,(1) = 3 , а решение задачи (15) определяется
по формуле y2(t) = -t + 3/12. Тогда разложение решения задачи (13) по
степеням параметра [Л до второго порядка имеет вид
1 (ъ Л
у($,Н) = - + Ъц+ —-31 jU2+o(ju2)-t U
Замечание 3. Доказанные теоремы 1 - 3 и их следствия справедливы для нормальной системы и доказательство соответствующих утверждений проводится аналогично.
§ 6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение вида
Ly = у”(х) +p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f (х), a<x<b, (1)
где р(х), q(x), f(x) - заданные на интервале (а, Ъ) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если f(x) = 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае, т.е. когда /(х) тождественно не равна нулю - неоднородным.
однородное
(2)
Лемма 1. Если у{х) является на интервале (a,b) решением уравнения
(2), то произведение С-у(х), где С - произвольная постоянная, также является решением уравнения (2).
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed