Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 125

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 283 >> Следующая

5 = 1. В случае уравнения (14) Рк(х) является многочленом третьей степени.
Поэтому частное решение уравнения (14) в силу теоремы 1 следует искать в виде
о (х) = х (А х3 + В х2 + С х + D), где А, В, С и D - пока неопределенные коэффициенты. Чтобы их найти, функцию и(х) следует подставить в данное уравнение (14) и приравнять коэффициенты при равных степенях х .
Пример 5. Написать вид частного решения неоднородного уравнения
y" + 7y' + l2y = f(x), (15)
а) f (х) = ех(х + 1) ; б) / (х) = е~3хх2; в) f(x) = e~3xx cos 2х .
Решение. Характеристическое уравнение к2 +7к + 12 = 0 имеет корни
кх = -3, к2 = - 4.
а) По виду правой части составляем число а + (3i = \ + i-0 = \, которое не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (15) имеет вид
о(х) = ех(Ах + В).
б) В этом случае число a + i /3 = -3 является корнем характеристического
уравнения кратности 5 = 1. Поэтому частное решение уравнения (15) находится по формуле
и(х) = хе~3х(Ах2 +Вх + С), где А , В и С - неопределенные коэффициенты.
в) Число a + i/3 = -3 + 2i не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (15) имеет вид
о(х) =е~3х[(Ах + В) cos2x + (Cx + D) sin2.x].
Пример 6. Написать вид частного решения неоднородного уравнения
y” + \6y = f(x), (16)
а) / (х) = 2 sin 4х; б) / (х) = (х2 - х) sin Зх .
Решение. В случае уравнения (16) характеристическое уравнение
295
А:2 +16 = 0 имеет корни kt = 4/, к2 = -4/.
а) По виду правой части уравнения (16) составим число а + /Р = 0 + г -4 = 4/, которое является корнем характеристического уравнения кратности 5 = 1. Тогда частное решение уравнения (16) имеет вид
и(Х) = *(v4cos 4х + В sin Ах).
б) В этом случае a + iР = 0 + г-3 = 3/ не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (16) следует искать в виде
o(x) = (Axz +Вх + С) cos3x + (Atx2 +Btx + Ct) sin3jc.
Пример 7. Написать вид частного решения неоднородного уравнения
у" + у = cos х + ех +х2, (17)
Решение. Правая часть уравнения (17) в целом не подходит указанной выше теореме! При отыскании частного решения уравнения (17) воспользуемся принципом наложения частных решений (см. § 7, теорему 2). В силу этой теоремы правую часть уравнения (17) рассмотрим в виде суммы :
f(x) = Mx) + f2(x) + f3(x), где fl(x) = cosx, f2(x) = ex, f3(x) = x2 удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда частное решение уравнения (17) будем искать в виде суммы : о(х) = и, (jc) + о2 (х) + о3 (*) .
Характеристическое уравнение А:2 +1 = 0 имеет корни кх =i, к2 = —i. По виду функции f(x) = cos х составляем число a +iР =i. Как видим, это число является корнем характеристического уравнения кратности 5 = 1. Тогда функция
и,(Х) имеет вид
и, (х) = х (At cos jc + Bt sin x).
Снова по виду функции f2{x) = ex составляем число a+iP = \, которое не является корнем характеристического уравнения, поэтому 5 = 0. Тогда функция о2(х) имеет вид
о2 (jc) = А2ех.
В случае функции f3(x) = x2 число a+ip = 0 не является корнем
характеристического уравнения. Тогда s = 0 и функция о3(х) имеет вид
оъ (jc) = А3 х2 + В3 х + С3.
Таким образом, частное решение уравнения (17) имеет вид o(x) = x(Al cosjc + Bt sinjc) + Л2ех +^3jc2 +В3х + С3.
Отметим, что построенная в параграфах 6 и 7 теория справедлива и для линейных неоднородных дифференциальных уравнений п - го порядка.
Пример 8. Найти общее решение неоднородного уравнения
ут у" + 4у 4у — 20 sin 2х. (18)
Решение. Характеристическое уравнение
?3 - к2 + Ак - 4 = (к -1) (к2 + 4) = 0
имеет корни кх =1, к2 = 2/, к3 = -2г. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения определяется по формуле
и (jc) = С1ех + С2 cos 2х + С3 sin 2х.
Теперь найдем частное решение уравнения (18). По виду правой части уравнения (18) составим число a + i/3 = 0 + i-2 = 2i, которое является корнем
характеристического уравнения кратности j = l. Тогда частное решение уравнения (18) будем искать в виде
v(x)~ x(Acos2x +Bsm.2x) = х (р{х), (19)
где А и В - неизвестные коэффициенты. Чтобы их найти, функцию (19) подставим в уравнение (18). Предварительно вычислим производные функции и(х):
о' = х(р' + (р, о" = х(р" + 2(р', о" = х(рт + Ъ(р", ср' = -2Asm2x + 2Bcos2x , (р" = -4(р, (р'" = -4(р' и подставим в уравнение (18):
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed