Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, формула (4) определяет общее решение уравнения (2), если частные решения уг(х) и у2(х) линейно независимы. Отсюда следует утверждение.
Лемма 6. Если уг(х), у2(х), у3(х) являются частными решениями уравнения (2) на (а, Ь), то они линейно зависимы на (a,b).
Действительно, если уг(х) и у2(х) линейно зависимы, тогда вся тройка линейно зависима; если же уг(х) и у2(х) линейно независимы, то они образуют фундаментальную систему. Тогда в силу теоремы 1 любое частное решение, в частности у3(х), линейно выражается через уг(х) и у2(х).
Лемма 7. Если два линейных однородных уравнения y” + p(x)y’ + q(x)y = О,
_y' + p(x)y' + q(x)y = 0, xe(a, b), имеют общую фундаментальную систему частных решений, то они совпадают, т.е. р(х) = р (х), q(x) = q (х).
Доказательство. Вычитая почленно эти уравнения, получим уравнение первого порядка
(Р (х) - р(х))у' + (q(x) - q (х))у = 0. (8)
Если р(х) Ф р(х), то в силу их непрерывности найдется интервал (a, J3)cz(a,b), в котором р(х)-р(х)ф 0. Разделив обе части уравнения (8) на р-р, получим уравнение первого порядка со старшим коэффициентом, равным 1, и оно допускает на (а, Д) те же решения, что и уравнение (7). Следовательно, уравнение первого порядка со старшим коэффициентом, равным 1, допускает два линейно независимых частных решения, что противоречит лемме 6. Тогда р(х) = р(х) и уравнение (8) примет вид (q(x) ~q(x))y(x) = 0. Рассуждая аналогично, покажем, что q(x) = q (х) .
Лемма 8. Линейное однородное дифференциальное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, однозначно определяется по своей фундаментальной системе.
Доказательство. Пусть уг(х) и у2(х) - фундаментальная система
частных решений уравнения (2) на интервале (а,Ь). Тогда покажем, что коэффициенты этого уравнения определяются однозначно. Пусть у(х) - любое решение уравнения (2) на (а,Ь). Тогда ух, у2, у - линейно зависимы на (а,Ь), поэтому определитель Вронского
Ух У2 У
ЩУх,Уг>У]= Ух У 2 У =0. (9)
п п п
Ух У 2 У
Разлагая его по элементам последнего столбца, видим, что равенство (9) представляет собой линейное однородное уравнение второго порядка относительно у(х). При подстановке вместо у функций ух, у2 получаем определитель с двумя равными столбцами. Он тогда тождественно равен нулю, следовательно, уравнение (9) имеет частные решения ух(х) и у2(х). Напишем уравнение (9) в развернутом виде
п Ух У 2 t Ух У 2 + У г У 2
-у У]
У Г У'2 п п п п
Ух У 2 Ух У 2
= 0.
(9')
В уравнении (9') коэффициент при у” есть определитель W[yl,y2], он не равен нулю на (а,Ь). Разделив на него обе части уравнения (9'), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка со старшим коэффициентом, равным 1, а по лемме 7 - оно единственно. Если полученное уравнение записать в виде (2):
y" + p(x)y' + q(x)y = 0,
то
У\ У 2
П щ
Ух У 2
Р(х) =
q (*) =
у\ У 2
Ух У 2
Щух,у2]
W[yx,y2]
Тем самым лемма 8 полностью доказана.
Нетрудно заметить, что определитель в числителе формулы для определения коэффициента р(х) есть производная по х определителя Вронского, стоящего в знаменателе:
W'[x] = W'[yx,y2] = Тогда
Отсюда
с Ух У2
V f Г /
Ух У 2
р(х) = -
= (у,У2 -у'хУгУ = УхУ2~УхУ2 =
W'(x)
Ух
п
Ух
У 2 У2
W(x)
= -(1п Щх)у.
W(x) = Се
и выражая постоянную С через начальное значение W(x0) при х = х0е (а, Ъ), окончательно получим
,т
-jp( о*
W (х) = W (х0) е 10 (10)
Равенство (10), определяющее определитель Вронского (с точностью до постоянного множителя) через коэффициент данного уравнения при У"_1) (в
нашем случае п = 2), называется формулой Остроградского - Лиувилля. Из
формулы (10) видно, что если W(x0) = 0, то W(x) = 0 на (а,Ъ)\ если же
W(x0)^ 0, то W(x) не обращается в нуль ни в одной точке (а,Ь). Отметим
также, что если р{х) = 0, то W(x) = W(x0) = const.
Теперь рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
