Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Поскольку L у(х) = 0 , то
Лемма 2. Если У](х) и у2(х) являются решениями уравнения (2) на (a,b), то и их сумма У](х) + у2(х) также является решением уравнения (2) на (a,b).
Доказательство. По условию Lyx(x) = 0 и Lу2(х) = 0 . Тогда
L (+ У2) = (У, (х) + у2 (х))" + р(х)(уъ (х) + у2 (х))' + q(x)(ух (х) + у2 (х)) = = [ У”(х) + р (х)у[ (х) + q(x)yx (х)] + [у2 (х) + р (х)у'2 (х) + q (х)у2 (х)] =
Следствие 1. Если У] (х) и у2 (х) являются решениями уравнения (2) на интервале (a,b), то и их линейная комбинация Схух(х) + С2у2(х) с произвольными постоянными С, и С2 также является решением данного уравнения на (a,b).
Доказательство. В самом деле,
ЦР\У\(*) + С2У2 (х)) = 1(С1У> (х)) + ЦС2у2 (х)) =С,1у, (х) + C2L у2 (х) = 0.
Теперь займемся вопросом построения общего решения уравнения (2). Но прежде изучим понятие линейной зависимости и независимости системы функций на промежутке.
Определение 1. Система функций (рх(х), (р2(х), , <рт(х) называется
линейно зависимой на числовом промежутке <а,/3>, если существуют постоянные а1,а2, ат, не все равные нулю, такие, что для любого хе<а,/3> выполняется равенство
Если для системы функций срх(х), срг(х), (рт(х) не существует таких постоянных ax,a2, am, чтобы равенство (3) имело место для любого хе.<а,/3>, то данная система функций называется линейно независимой на <а, /3 >, т.е. линейная независимость функций (рх (х), срг (х), ..., (рт(х) означает, что тождество (3) будет выполняться только тогда, когда ах = а2 =... = ат = 0.
L(Cy(x)) = (Су(х)У + р(х)(Су(х))' + q(x)(Cy(x)) = СL(y(x)) ^ 0 .
Lyx(x) + Ly2{x) = 0.
а](р1(х) + а2(р2(х)+ ... + ат срт(х) = 0.
(3)
Примеры. 1. Функции 1, х, х2,..., хт линейно независимы на любом промежутке <«,/?> числовой прямой.
Допустим, что на некотором промежутке <a,f5> эта система линейно зависима. Тогда существуют не все равные нулю постоянные а0, ах, а2, ..., ат , такие, что для любого хе<а,/3 > выполняется равенство
а0 +а1х + а2х2 + ... +атхт = 0.
Полученное тождество есть алгебраическое уравнение степени не выше т и оно может быть справедливым не более как для т значений х, тем самым получено противоречие.
2. Функции еЯх, хеЯх,..., хтеХх линейно независимы на любом промежутке <а,(3 >.
3. Система функций еах cos bx, хеах cos bx, ..., хтеах cos bx , где а Ф 0, Ьф 0 , линейно независима на любом промежутке <a,f5>.
4. Система функций еах sin bx, хеах sin bx........ хтеах sin bx, а Ф 0,
Ьф 0 , линейно независима на любом промежутке <a,f5>.
В примерах 2-4 следует рассуждать методом от противного, как и в случае примера 1, и получить противоречие с основной теоремой алгебры о нулях многочлена.
5. Пусть кх<к2< ... < кт - любые действительные числа. Тогда функции xkl, xkl,..., хкт линейно независимы на любом промежутке < 0, /?>,/?> 0.
Допустим, что данная система линейно зависима на промежутке <0, /3 >. Тогда при не всех равных нулю постоянных ах, а2,..., ат справедливо тождество
а, хк' +а7 хкг + ...+ахкт = 0
1 А т
ИЛИ
а, +а2 хкг~к' + ...+ахкт~к' = 0.
1 z т
Переходя здесь к пределу при х—>0 + 0, получим, что а,=0. Поэтому тождество примет вид
а2 хкг~к1 +а2 хку~к' +...+а хк’п~к' = 0.
z j т
Повторяя последовательно аналогичное рассуждение, получим: а2 = 0,
аг= 0 , ат= 0, т.е. противоречие с предположением, что не все at равны нулю.
Лемма 3. Если функции уг(х), у2(х), ..., ут(х) линейно зависимы на промежутке <а,/3 > и на этом промежутке имеют производные до т-l- го порядка включительно, то определитель Вронского
Ух(х)
У[(х)
I)/
У2(х)
У'2(х)
УЛ*)
У'Ах)
I)/
угчх) угчх) - yi:~l>(x)
равен нулю при всех xe<a,(5>.
Доказательство. Пусть функции ух(х), у2{х) - . ,Ут(*) линейно
зависимы на промежутке <a,fi >. Тогда существуют не все равные нулю числа or,, а2, ..., ат такие, что при всех хе<а,/3 > выполняется равенство а1у1(х) + а2у2(х)+ ...+ат ут(х) = 0.
Отсюда, поскольку функции ух(х), у2(х), ... , ут(х) дифференцируемы (т -1) раз на < а, /? >, имеем
' ссхух(х) + а2у2(х) + ... + атут(х) з О, aly'l(x) + tx2y2(x)+ ... +ату'т(х) = О,
{аУГ1\х) + а2/Г1\х)+ ...+amyfr'\x)» 0.
Полученная линейная однородная система имеет ненулевое решение 0Гр а2,..., ат. А это возможно лишь тогда, когда определитель W(х) этой системы равен нулю при всех хе<а,/3 >.
Следствие 2. Если определитель Вронского W[yx, у2,..., ут] функций _у,(х), у2(х), ..., ут{х) отличен от нуля хотя бы в одной точке промежутка <а,р>, то функции ух(х), у2(х), , ут{х) линейно независимы на
