Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
у" + у' - 6у = 6х2 +1, х е R . (3)
Решение. Прежде всего построим общее решение соответствующего однородного уравнения
у” + у' ~6у = 0. (4)
Составим характеристическое уравнение к2+к-6 = 0 и найдем его корни кх = 2, к2=-3. Тогда общее решение уравнения (4) находится по формуле
и(х) = С,е2х + С2е-3х. (5)
Частное решение уравнения (3) будем искать в следующем виде:
о(х) = Ах2 +Вх + С, (6)
где А, В, С - пока неопределенные коэффициенты, так как правая часть
уравнения (3) является многочленом второй степени. Подставляя функцию (6) в
(3), получим
-6Ах2 + (2А-6В)х + 2А + В-6С = 6х2 +1.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при равных степенях х, найдем:
-6А = 6,
< 2А-6В = 0, о А = -1, В = --, С = --.
3 9
2А+В-6С=1
Тогда функция (6) принимает вид о(х) = -х2-х/3-5/9. Общее решение уравнения (3) находится как сумма функций и(х) и о(х) :
у(х) = и (х) + о (х) = Схе2х + С2ё~Ъх - х2 - х/3-5/9.
Пример 2. Найти общее решение неоднородного уравнения
у" + 2у' + у = е~х, xeR. (7)
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
у" + 2у' + у = 0 . (8)
Для этого составим характеристическое уравнение к2+2к + \ = 0. Число
кх=к2= -1 является двукратным корнем характеристического уравнения. Тогда общее решение уравнения (8) найдем по формуле (11) (см. § 6 теорему 3)
и(х) = Схе~х + С2хе~х. (9)
Поскольку правая часть уравнения (7), т.е. /(х) = е~х, является двукратным частным решением уравнения (8), то частное решение следует искать в виде
и(х) = х2Ае~х, (10)
где А - неизвестная постоянная. Подставляя функцию (10) в (7), имеем 2Ае~х - 4Ахе~х + Ах2е~х + 4Ахе~х - 2х2Ае~х + х2 Ае~х = ё~х, 2Аех=ех<^А = \/2.
1 ,
у(х) = и (*) + о(х) = Схе х + С2хе Ч-х е х.
Пример 3. Найти общее решение неоднородного уравнения
у' + у = sinjc, xeR. (11)
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
У' + У = 0. (12)
и построим его общее решение. Характеристическое уравнение имеет вид А:2+1 = 0. Его корни ki=i,k2=-i. Тогда общее решение уравнения (12) определяется по следующей формуле (см. § 6, 3°): и(х) = С, cosx + C2 sinx.
Как видим, правая часть /(x) = sinx является частным решением уравнения (12), поэтому частное решение уравнения (11) будем искать в виде
v(x) = x(Acosx +Bsmx) = х(р(х), (13)
где А и В - пока неизвестные постоянные. Предварительно вычислим производные o'(х), о"(х)'.
o' (x) = (р (x) + х (р'(х), о" (jc) = 2 (р'(х) + х (р"(х),
(р'(х) = -A sin х + В cos х, (р"(х) = -A cos х - В sin х = - ср(х),
о" (jc) = 2 (р'(х) -х <р(х).
Подставляя функцию и(х) и ее производную о"(х) в уравнение (11), получим
- 2,4 sin*+ 22? cos jc = sinjc.
Приравнивая коэффициенты при cos* и sin*, найдем неизвестные А и В:
-2А = 1, 2В = 0 или А = -1/2, В = 0. Подставляя найденные значения А и В в (13), находим частное решение уравнения (11): o(x)--xcosxj2. Тогда общее решение уравнения (11) имеет вид
у(х) = м(х) + и(х) = С, cosx + Cj sinх—-^х cosх.
Справедлива следующая
Теорема 1. Если правая часть / (х) линейного неоднородного уравнения (1) имеет вид
/(*) = eax[Pt (х)cos рх + Qm(х)sin рх\, где Рк (jc) и Qm (jc) - заданные многочлены соответственно степени кит, а и Р - заданные действительные числа, то уравнение (1) имеет своим частным решением функцию
o(x) = xseax[Ap(x)cos Px + Bp(x)sin рjc],
где Ар(х) и Вр(х) - полные многочлены степени р, р = тах{к,т},
s >0 - кратность корня a + ifi соответствующего характеристического
уравнения.
294
На практике записывают многочлены Ар(х) и Вр(х) с неопределенными коэффициентами, подставляют в исходное уравнение и приравнивают коэффициенты в обеих частях при выражениях вида xr cos/Зх и xr sin/Зх, г = s, s + 1,..., s + р.
Пример 4. Написать вид частного решения неоднородного уравнения
у"-у' = х3-х2+1. (14)
Решение. Как видим, правая часть уравнения (14) не содержит еах, cos /Зх и sin /Зх. Это означает, что а = /3 = 0. Соответствующее
характеристическое уравнение имеет вид к2 -к = 0. Его корни А:, = 0, к2=\.
Число a+i/3 = 0 является корнем характеристического уравнения кратности
