Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 122

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 283 >> Следующая

находится по формуле (17): у = е3х(С1 cos2х + С2 sin2x) .
Ответ: y = e3x(Clcos2x + C1sin2x), где С, и С2 - произвольные постоянные.
Отметим, что построенная здесь теория полностью переносится на линейные однородные дифференциальные уравнения п - го порядка
Ул) + ах О) УлЧ) + ... + О) у' + ап(х)у = /(х), (19)
где at(x), 1 = 1,л, f (х) - заданные на интервале (а, Ь) функции. В этом случае определитель Вронского имеет вид
У, у2 - Уп
W(x) = W[yi,y2,...,yn] =
У1
Уп
(л-1)
Уп
Если уг(х), у2(х)...... у„(х) образуют фундаментальную систему
частных решений уравнения (19), то их линейная комбинация У (х) = С, у1 (х) + С2 у2(х) + ...+Сп уп(х) является общим решением уравнения (19).
В случае уравнения (19) с постоянными коэффициентами а, характеристическое уравнение имеет вид
к + к + ... + Ял1 к + ап = 0. (20)
Справедливо следующее утверждение, которое является обобщением теоремы 3.
Теорема 4. Если число X является корнем характеристического уравнения (20) кратности т<п, то функции еЛх, хеЛх, ..., хт~1 еЛх являются решениями уравнения (19) с постоянными коэффициентами и они линейно независимы на числовой прямой R .
Пример 10. Найти общее решение уравнения
/"+/ = 0. (21)
Решение. В этом случае характеристическое уравнение имеет вид k4 + k2= 0. Оно имеет корни kx=k2= 0, k3=i, k4=-i. Тогда частные решения, которые образуют фундаментальную систему для уравнения (21), имеют вид yl(x) = l, у2(х) = х, у3(х) = cos х, у4(х) = sin х. Тогда общее решение уравнения (21) определяется формулой
y(x) = Cl+C2x + С} cos х + С4 sin х,
где С;, 1 = 1,4 - произвольные постоянные.
§ 7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
Цу) = /О) + Р О) /(*) + Ч (л) У(х) = f(x),a<x<b, (1)
где p(x),q(x), f(x) - заданные на интервале (а, Ь) непрерывные функции. Наряду с уравнением (1) рассмотрим соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение
Ь(у) = у"(х) + р (х) у (х) + q (х) у(х) = 0, а <х<Ъ. (2)
Теорема 1 (структура общего решения). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего линейному однородному дифференциальному уравнению
(2) и какого-либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (1).
Доказательство. Пусть и(х) - общее решение уравнения (2), а и(х) -какое-либо частное решение самого уравнения (1), т.е. Lu(x) = 0 и Lo(x) = /(х). Тогда в силу теоремы 1 § 6 общее решение и (х) уравнения (2)
19 — 5026 2 89
имеет вид
и(х) = Схух(х) + С2у2{х), где уД*) и у2(х) - фундаментальная система частных решений уравнения (2), С, и С2 - произвольные постоянные. Покажем, что
у(х)~и (jc) + о (х) (3)
является общим решением неоднородного уравнения (1). Во-первых, функция у(х) является решением уравнения (1):
L (у (*)) = L (и + о) = L (и) + L(v) = 0 + f (х) = f (х).
Во-вторых, пусть а>(х) - любое частное решение уравнения (1) и покажем, что оно получается из формулы (3) при надлежащем выборе постоянных С, и С2. Рассмотрим разность о)(х)-о(х), которая является решением на (а, Ь) однородного уравнения (2):
L (co-v) = L(co)-L(u) = f(x)-f(x)^0.
Тогда существуют такие числа С\0) и С20), что
со(х)-о(х) = С^У](х) + С^у2(х).
Отсюда
<»W=oW+c!0V,W + c$") Уг(х).
Теорема 2 (принцип наложения частных решений). Если и, (х),
/ = 1, к, является решением уравнения L(y) = f(x) на (a, b), то сумма
и,(х) + о2(х) + ... +ок(х) является на интервале (a, b) решением уравнения
L (у) = /, О) + /2 О) +... + Л О) ¦
Доказательство. В самом деле, при любом jc из (a, b)
Ц(*)1 = Z Lo^x) = 2 fix).
V;=i У i=i i=i
Теорема 3. Если известна фундаментальная система частных решений соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти в квадратурах, т.е. в явном виде методом вариации постоянных.
Доказательство. Пусть известна фундаментальная система у^х) , у2(х) частных решений соответствующего уравнения (2). Тогда по теореме 1 § 6 общее решение уравнения (2) определяется по формуле
и (х) = С, у, (х) + С2 у2 (х) . (4)
Общее решение уравнения (1) будем искать в таком же виде, как общее
решение (4) уравнения (2), но заменяя произвольные постоянные С, и С2
неизвестными функциями C,(jc) и С2(х) :
и(х) = С1(х)у1(х) + С2(х)у2(х). (5)
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed