Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Ly = у"(х) +р y'(x) + q у(х) = 0, xeR, (11)
где р и q - заданные действительные постоянные.
Частное решение уравнения (11) будем искать в виде функции
у(х) = екх, (12)
где к - неизвестная постоянная. Функция еь является решением уравнения
(11) только тогда, когда к является решением алгебраического уравнения:
k2+pk + q = 0, (13)
так как Leb = еь (к2 + рк + q).
Алгебраическое уравнение (13) называется характеристическим уравнением уравнения (11).
Итак, установлено следующее утверждение.
Теорема 2. Если число к является корнем характеристического уравнения (13), то функция (12) является частным решением дифференциального уравнения (11).
Для характеристического уравнения возможны три случая в зависимости
от знака дискриминанта D = р2 -4q.
1°. Пусть D = p2-4q>0. В этом случае уравнение (13) имеет два
различных действительных корня кх и к2. Тогда в силу теоремы 2 функции
yl(x) = eklX и у2(х) = екгХ являются на R частными решениями уравнения
(11). Решения екхХ и екгХ линейно независимы на R, так как определитель Вронского
W(x) =
ек,х eklX к{ек'х к2екгХ
-е(к'+к')х{к2-кх)*0.
Тогда на основании теоремы 1 их линейная комбинация
у(х) = С^^х) + С2у2(х) = CYek'x + С2екгХ является общим решением уравнения (11).
286
Пример 7. Найти общее решение уравнения
у" + у'-6у = 0, xeR. (14)
Решение. Составляем характеристическое уравнение к2+к-6 = 0 и находим его корни кх-2, к2=-Ъ. Тогда общее решение уравнения (14)
определяется по формуле у(х) = Cte2x + С2е~3х.
Ответ: у(х) = Схе2х + С2е~Ъх, где С, и С2 - произвольные постоянные.
2°. Пусть D = p2-4q = 0. Тогда корни уравнения (13) вещественные и
совпадают кх=к2=к0. Частные решения уравнения (11), соответствующие
этим корням совпадают, следовательно, они не образуют линейно независимую пару частных решений уравнения (11). В этом случае второе частное решение
у2(х), которое с ух=ек°х образует линейно независимую пару, найдем на
основании следующего утверждения.
Теорема 3. Если число к0 является двукратным корнем уравнения (13),
то функции yl=ek°x и у2 = хух = хек°х являются на R линейно независимыми частными решениями дифференциального уравнения (11).
Доказательство. Функция у1=ек°х является уже решением уравнения
(11). По условию к0 является двукратным корнем алгебраического уравнения
(13), тогда кх-к2=к0=-р/2 и к2 + рк0 +q = (к0 + р/2)2=0. Теперь покажем, что у2(х) также является решением уравнени (11):
Ьу2 (х) = Ь(хек°х ) = (хек°х)" + р(хек°х)' + qxek°x =
= хк2ек°х + 2 к0ек°х + р(ек,,х + хк0ек,,х) + qxek°x =
= ек°х(хк2 + 2 к0 + р + рхк0 + qx) =
x(k2 + pk0 + q) + 2(k0+^)
= ек°х
х(ко+1.у+2(к0+^)
= 0.
Нетрудно показать, что функции ек°х и хек°х линейно независимы на R. Тогда, в силу теоремы 1, общее решение уравнения (11) определяется по формуле:
у(х) = Схек°х + С2х ек°х . (15)
Пример 8. Найти общее решение уравнения
у"-6у' + 9у = 0. (16)
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни кх=к2= 3. Тогда на основании формулы (15) общее решение уравнения (16)
задается формулой у(х) = СхеЪх + С2хеЪх.
Ответ: у(х) = С,е3* + С2хеЪх, где С, и С2 - произвольные постоянные.
3°. Пусть D = р2-4q<0. Тогда корни уравнения (13) являются
комплексно-сопряженными числами kx=a + i/3, k2=a — i/3, где a, /? -
287
ух(х) = ек‘х = е(а+,/3)х и у2(х) = ек2Х = е(а~,/3)х являются решениями уравнения
(11) и они линейно независимы на R . На основании формулы Эйлера (см. гл. 1, § 23, п. 5)
е,,р = cos<p + isin(р, z2=-1, <peR, эти решения перепишем в следующем виде:
ух(х) = e(a+'fi)x =еахёРх = eax(cos/? x + isin/3 x) = eax cos/? x + i eax sin/? x,
= e~~e " = eax cos(3 x-i eax sin /? x .
= e e' y2(x) = e(a4/3)x -‘>axr40x
Из этих решений составим следующие комбинации:
у,(х) = уЛх)-уЛх)=е“-*т/Зх,
2 i
которые в силу следствия 1 из лемм 1 и 2 также являются частными решениями уравнения (11). Функции ух(х) и у2(х) линейно независимы на R и они являются вещественными. Поэтому через них определяется общее решение уравнения (11):
у(х) = Схеах cos/?х+ С2еах sin/? х =
= eax(C,cos /? x + C2sin /? х). (17)
Пример 9. Найти общее решение уравнения
у” — 6у' + 13у = 0. (18)
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид к2-6к + 13 = 0, D = -16 < 0. Тогда ?,=3 + 2/, k2-3-2i. В случае уравнения (18) а = 3, /? = 2. Поэтому общее решение уравнения (18)
