Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
<а,р >.
Доказательство. Пусть ух(х), у2(х), ..., ут(х) линейно зависимы на <a,f3 >. Тогда по лемме 3 определитель Вронского W[yx, у2,..., ут] = 0 при всех х е< а, (3 >, что противоречит условию.
Пример 6. Функции е^х, ellX,..., еЛтХ линейно независимы на любом промежутке <«,/?>, если Л,, Л^,..., Лт - различные между собой числа.
В самом деле,
еАх е^х . е^х
W[e^x, еЛ2Х, ..., ея'"х] = Л1ел'х Л#** ¦
т
Л^~1е^х . Лт~хеКх
т
так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных Л. не равен нулю.
Лемма 4. Для того чтобы решения у{(х) и у2(х) уравнения (2) с непрерывными коэффициентами были линейно независимы на интервале (а, Ъ), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского
W(х) = W[yl(х), у2(х)] был отличен от нуля для всех х е (а, Ъ).
Доказательство. Необходимость. Пусть уг(х) и у2(х) линейно независимы на (а, b) и являются решениями уравнения (2). Допустим, что существует точка х0е(а,Ь) такая, что W(x0) = 0. Выберем числа а,, а2, одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы
\a1yi(xo) + a2y2(xo) = 0,
\<Х1У[Ы + а2у’2(х0) = 0.
Это можно сделать, так как определитель этой системы есть W(х0) = 0 . В силу
следствия 1 функция у(х) = ах у1(х) + а2 у2(х) является на интервале (а, Ь) решением уравнения (2) и удовлетворяет нулевым начальным условиям:
Я*о) = 0- У'Оо) = °-
Тогда на основании теоремы о единственности и существовании решения задачи Коши (см. §3, п. 3) у(х) = ах у1(х) + а2 у2(х) = 0 на (а, Ь) . А это означает, что функции уг(х) и у2(х) линейно зависимы на (а, Ъ) , чего быть не может. Следовательно, наше допущение не верно, поэтому определитель Вронского W (х) всюду на (а, b) не равен нулю.
Достаточность. Пусть W(х) не равен нулю. Тогда в силу следствия 2
функции ух(х) и у2(х) линейно независимы на (а, b) независимо от того, являются ли они решениями уравнения (2).
Определение 2. Любая система из двух линейно независимых на (а, Ъ)
частных решений yt (х) и у2(х) уравнения (2) называется его фундаментальной системой частных решений.
Лемма 5. Для всякого уравнения (2) с непрерывными коэффициентами существует его фундаментальная система частных решений, причем бесконечное множество.
Доказательство. Рассмотрим уравнение (2) с непрерывными на
интервале (а, Ь) коэффициентами. Возьмем любую точку х0 е (а, b) и рассмотрим определитель
с О О d
¦cd^O,
где с и d - заданные действительные числа. Определим частные решения у, О) и у2(х) начальными условиями :
Ух(х 0) = с, у[(х0) = 0,
^20о) = 0- УОо) = ^-Согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши (см. § 3, п. 3) частные решения .у, О) и у2(х) существуют и определены на интервале (а, Ъ). Определитель Вронского W[yl} у2] для этой системы при х = х0 не равен нулю, поэтому система .у, О) и у2(х) линейно независима на (а, b). Значит, они образуют фундаментальную систему частных решений
уравнения (2). Придавая с и d конкретные значения так, чтобы определитель был отличен от нуля, убеждаемся в существовании бесконечного множества систем фундаментальных решений уравнения (2).
Справедлива следующая
Теорема 1. Если функции ух{х) и у2(х) образуют фундаментальную систему частных решений уравнения (2) на (a, b), то их линейная
комбинация
у(х) = С1у1(х) + С2уг(х) (4)
является общим решением уравнения (2) на (a,b) в том смысле, что любое частное решение уравнения (2) может быть получено из данной комбинации при надлежащем выборе постоянных С, и С2.
Доказательство. Ясно, что в силу следствия 1 сумма (4) при любых С, и С2 является решением уравнения (2) на (а, Ъ). Пусть ср(х) - любое частное решение уравнения (2) на (а, Ь) и х0 е (а, b) . Положим
<р{хй) = <рй, (р\х 0) = <р'0. (5)
Для чисел <р0 и <р'0 составим линейную систему уравнений относительно С, и
С2:
С\ У\Оо)^2 .У2О0) <Ро> С, У1 (^о ) ^2 .У2О0) — % •
(6)
Определитель данной системы
W(x0) =
*0,
У1О0) У2О0)
УОо) УОо)
так как функции уг (х) и у2 (х) линейно независимы на промежутке (а, Ь). Поэтому существует единственная пара чисел С,0 и С2, удовлетворяющих
системе (6). Подставляя С,0 и С2 вместо С, и С2 в формулу (4), получим решение уравнения (2) в виде
Уо (*) = ci° У\ (х) + С° у2 О) ,
удовлетворяющее тем же начальным условиям (5), что и решение <р(х). Тогда
на основании теоремы существования и единственности решения задачи Коши (см. § 3, п. 3) следует, что
<р (х) = у0 (х) = С,0 у, О) + С2° у2 (*) для всех хе (а,Ь). Таким образом, любое частное решение уравнения (2) получается из формулы (4) при надлежащем выборе постоянных С, и С2.
