Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
большим, но конечным набором чисел — концентрациями во всех ячейках. Тзкой подход иногда удобен для вычислений, но для качественного или аналитического исследования модели он оказывается малопригодным. В этом параграфе мы рассмотрим математические модели, в которых состояние системы описывается функцией точки пространства. Если в предыдущих параграфах, где состояние задается конечным числом параметров, эволюция системы во времени описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, то здесь эволюция состояний во времени будет описываться уравнениями с частными производными.
Как правило, мы будем говорить о моделях биохимических реакций. Аналогичные модели можно' строить для экологических процессов, в популяционной генетике, при изучении распространения эпидемии и т. д.
Рассмотрим химическую реакцию, проходящую в некотором объеме D, в которой принимают участке г веществ (считая продукты реакции). Пусть U\(t, х), u2(t, x),...,Ur(t, х)—концентрации этих веществ в момент t в точке x^ D. Изменение концентраций во времени происходит за счет двух процессов: во-первых, за счет химических превращений веществ в ходе реакции, во-вторых, за счет диффузии отдельных веществ из областей с высокой концентрацией в области с меньшей концентрацией. Пусть скорость изменения концентрации i-oro вещества за счет химической реакции есть fi=fi(uu u2,.:.,ur, х, t). Эта скорость зависит от концентрации всех компонентов реакции в точке х, а также непосредственно от х и t, так как внешние параметры, такие, например, как температура, различны в разных точках области D и изменяются со временем.
Количество частиц i-того вещества, проходящее через площадку единичной площади в единицу времени Si(t, х) (поток диффузии), пропорционально величине градиента концентрации i-того вещества:
St (t, х) — Di Vjfii if, х)\
Здесь Di — коэффициент диффузии для i-того вещества. Если предположить, что отсутствуют «гидродинамические» потоки — систематические, неслучайные движения реагирующих веществ,— то закон сохранения дает нам следующее уравнение для щ(1, х):
— («1. • ••,«,) + div(Dt
at
Будем считать, что коэффициент диффузии не зависит от х, тогда придем к следующей системе уравнений для функций щ,.., • • • > Чт -
-“Ми 1..........ur) + DtbJn(x), (1.8-1)
at
» д2 д1 д1
где Д = —г- Н-----г- -|---5----оператор Лапласа.
дх\ дх\
Чтобы выделить единственное решение системы уравнений (1.8—1), необходимо задать начальные условия
щ(0, х) =ф*(лг), 1=1,....г, (1-8—2)
и условия на границе области D. Простейшее граничное условие— непроницаемость границ области. D, от которых частицы отражаются, — имеет следующий вид:
ди,
дп
xedD
t> о
= 0, i=l......г, (1.8-3)
где я— вектор нормали к границе dD области D. Условие
ди/ , .
---- =Ф(х) описывает поток вещества через границу.
дп хedD t> О
Другой тип граничных условий — поглощение на границе:
И/(Л *)| X?dD,t>о=0. Граничное условие ди/
aui(t, х) + ^-
дп
= 0
x?dD, <>0
соответствует частичному поглощению и частичному отражению на границе. При небольших качественных предположениях о функциях ft и ф4 система (1.8—1) вместе с дополнительными условиями (1.8—2) или (1.8—3) имеет единственное решение. Если область D совпадает со всем пространством, то граничных условий ставить не нужно.
Ранее для описания эволюции концентраций в ходе химиче-скьй реакции мы использовали системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Посмотрим, какими величинами мы должны пренебречь, чтобы система (1.8—1) переходила в системы обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотренных в § 1—7. Такая редукция возможна в различных случаях. Если внешние параметры можно считать постоянными во всем объеме D, так же как и начальные условия ф,- (т. е., есл'и fi(t, х, u)=f(u, t), ф*(х) =цч = const), то решение точечной системы — t), ы*(0)=ф(, t = l, 2является решением за-
дачи (1.8—1) — (1.8—3). Таким образом, если.внешние условия и начальные концентрации однородны во всем объеме D, то достаточно рассматривать точечную систему.
Другой случай, когда точечная система хорошо описывает кинетику,— случай больших коэффициентов диффузии. Если скорости диффузии, в нашем случае это величины VDt , велики по сравнению со скоростями реакций f(u, х, t), то прежде чем произойдет существенное изменение концентрации i-того вещества за счет реакции, частицы этого вещества перемешиваются во всем объеме D. При этом химические реакции будут идти с
усредненными скоростями Д- (и, t) = —— Г f{ (t, х, и) dx, где
у,
Vd — объем области D. Таким образом, если коэффициенты диффузии Dit 1 = 1,...,г, велики, то решение системы (1.8—1) — (I.8—3) после некоторого периода релаксации будет близко к решению точечной системы:
