Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 32

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 126 >> Следующая

При определенных предположениях относительно коэффициента А и В пространственно неоднородные решения системы (1.8—9) существуют.
Как и в случае точечных систем, особый интерес представляют устойчивые стационарные состояния расположенных систем. Как правило, именно такие состояния могут наблюдаться в эксперименте. Поясним, как ставится задача об устойчивости распределенных систем и как можно проверить устойчивость стационарных решений. Рассмотрим сначала уравнение (1.8—6).
Пусть и0(х) — стационарное решение этого уравнения. Выберем в качестве начальной функции'в задаче (1.8—6) функцию, близкую к ио(х):
и(0, х)=ги0(х)-Ьд(х), |6(х)|<1.
Пусть ub(t, х) — решение задачи (1.8—6) с такой начальной функцией.
Стационарное решение и0(х) называется устойчивым, если для достаточно малых | б (х) | иб (t, х) при всех / > 0 мало отличается от и0(х). Вблизи и0(х) нелинейную функцию f(u) — u (а—и) (и—Ь) можно приблизить линейной функцией f(u) / (и0) + b'u (и0) (и — и0) = = и0(а—и0) (щ—Ь) + [(а—и) (и — Ь) + и{а — и)—и(Ь —и)] (и— иь). Поэтому при малых 6(х) функция ий(t, x)zzu0(x) + 8(t, х), где 6 (/, х)—решение линейной задачи:
^Г1 =^Цгг1 + f'u ("о) б (i, х), at ox2
(1.8— 10)
6(0, *) = 6(x), 0) = 0 = 0.
dx dx
(В дальнейшем считаем для краткости, что коэффициент диффузии Z) = 1.)
Таким образом, для исследования устойчивости стационарных состояний распределенных нелинейных систем нужно изучить поведение при t-^oo решения линейной задачи. Как правило, свойства линейной задачи определяют устойчивость или неустойчивость решения соответствующей нелинейной системы. Исключение составляют случаи нейтрального поведения решений линейной задачи (сравни с исследованием устойчивости точечных систем).
Рассмотрим, например, вопрос об устойчивости однородных по пространству стационарных решений задачи (1.8—6). Для решений f'u(ii0) =с=const решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно исследовать следующим образом. Начальное возмущение 6(х) можно разложить в
ряд по функциям cos , k = 0, .. . , п ...
оО
«, VI knx
в(*)= ?а*со$ ~~г'
k=0
Если решение задачи (1.8—10) с начальной функцией Ьк(х) =
кЛХ
—cos—-— при каждом k=0, 1, 2, ... будет с ростом t стремиться
к нулю, то в силу линейности будет стремиться к нулю решение задачи (1.8—10) с возмущением 6 (л:) общего вида. Функции
cos —— являются так называемыми собственными функциями
задачи с постоянными коэффициентами и условиями непроницаемости на концах отрезка. Это делает решение 8k(t, х) задачи (1.8—10) с начальной функцией 6*(х) очень простым: 8k(t,x) можно найти в виде ak (i) cos — ^х . Подставляя это выражение в
уравнение (1.8—10), получаем следующее соотношение для
ak(t):
a'k{t) = (--^- + c) ak(t), ak (0) = 1.
Отсюда ak (t) = exp | ^^сли c<^^> T0 ПРИ любом
/г = 0, 1, 2, . . . функция b(t, лс)-*оо при /-^0. Следовательно, при c=f'u(u)<i08(t, х), какова бы ни была начальная функция 6(лс). Таким образом, в этом случае любое (малое) начальное возму-
щение однородного по пространству стационарного решения со временем затухает. Возвращаясь к нашей конкретной функции f(u), получаем, что при 0<а<.Ь /'(0) и f'(b) отрицательны, и, следовательно, стационарные решения 0, и=Ь устойчивы. Решение и=а неустойчиво, так как f'(a)>0. Заметим, что су-
knx
ществует только конечное число гармоник вида cos----------, кото-
рые приводят к развитию возмущений стационарного решения
и=а. А именно, это только те гармоники, для которых ------------<
Р
< /' (а).Если начальное возмущение не содержит этих гармоник, то оно со временем будет исчезать.
Исследование устойчивости неоднородных по * стационарных решений более сложно. Для этого необходимо изучить собствен-
*
ные значения дифференциального оператора L„ —-------------г fu (Щ X
dx2
X (х)) 8 с условиями и'(0) —v'(l) =0. Если все собственные значения отрицательны, то решение ио(х) устойчиво. Если какие-то собственные значения положительны, то для некоторых возмущений разовьется неустойчивость. В случае одного уравнения (1.8—6) с условиями непроницаемости на концах можно доказать, что все неоднородные по пространству стационарные решения задачи неустойчивы. При других граничных условиях могут появиться устойчивые неоднородные по пространству решения уравнения (1.8—6).
Аналогично обстоит дело с исследованием- устойчивости стационарных решений распределенной системы (1.8—1). При анализе устойчивости однородных по пространству решений (в случае одномерного реакционного объема) достаточно убедиться в том, что затухают решения линеаризованной (около исследуемого решения) системы с начальными функциями вида
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed