Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Сделанные предположения относительно функции f.(u) означают, что при малых и концентрация за счет нелинейного члена нарастает. Вблизи и= 1 наступает насыщение. Таким образом, малые концентрации,- которые распространяются за счет диффут зии, увеличиваются за счет точечной системы. Взаимодействие этих двух процессов приводит к тому, что волна концентрации, близкой к 1, движется слева направо. Более точное утверждение состоит в следующем. Существует монотонная функция ?>(?),. стремящаяся к 1 при —оо и к 0 при |-»-+оо( такая, что
u(t, с?)
прв t-*-oo, где с=2 VDf' (0)- Таким образом, при больших t -функция u(t, х) ведет себя как волна, распространяющаяся со? скоростью с слева направо. Форму волны задает функция и(?), которую можно найти как решение дифференциального уравнения: \ ,
^®) + «»'(6) + /(о) = 0»;}72) = 0.-
Отметим, что скорость распространения волны может быть существенно больше, чем скорость, с которой распространяются не очень маленькие концентрации за счет диффузии. Это увеличение скорости происходит вследствие действия «размножителя», который описывается точечной системой.
В ряде моделей возникают функции f(u) несколько иного вида (см. рис. 1.40, б, в). Функция, изображенная на рис. 1.40,6,. описывает случай, когда размножение частиц начинается не сразу, а только при некоторой достаточно большой концентрации щ. Такая функция встречается в ряде моделей химической кинетики, в теории горения, в некоторых моделях передачи сигналов в биологических системах. Случай, изображенный на рис. 1.40, в,. встречается в ряде задач популяционной генетики и экологии. Отрицательность функции f(u) при малых и описывает, например, эффект, связанный с тем, что при малой концентрации скорость размножения, мала, так как мала частота встреч особей разного пола: за счет смертности при малых и скорость «прироста» численности отрицательна. В случае нелинейностей изображенных на рис. 1.40, и начальной функции (1.8—15) в распределенной системе тоже распространяется концентрационная волна.
В случае в нужно еще потребовать, чтобы величина j* / (и) du была положительна, в противном случае распространяться будет-
'Не)
Г\. Г\,
1с с, 1с
Рис. 1.40. Возможные типы функций f(u)
ва
•область маленьких значений концентрации. В важном частном случае f(u)=«(l—и) (и—ц), который может служить моделью целого ряда биофизических задач скорость волны, которая устанавливается при больших t, можно вычислить явно. Оказывается
•в этом случае скорость распространения равна J/D (Г-р!=—\i\^2 j
(предполагается, что це(0, 1/2), в противном случае будет расширяться область малых значений концентрации).
Исследование распределенных систем довольно сложная задача и очень редко можно рассчитывать на получение точных аналитических результатов. Даже вопрос о нахождении стационарных решений достаточно сложен, особенно если речь идет о системах дифференциальных уравнений. В связи с этим при исследовании распределенных систем особенно важную роль играют асимптотические методы. Как и в случае точечных систем, различные порядки коэффициентов диффузии и скоростей реакции позволяют отдельно рассматривать быстрые и медленные переменные.
ЛИТЕРАТУРА
Андронов А. А., Витт А. А., Хайкии С. Э. Теория колебаний. — М., 1981.
Андронов А. А., Леонтовнч Е. А., Гордон Н. Н., Майер А. Г,
Качественная теория динамических систем второго порядка. — М., 1966.
А п д р о н о в ’А. А., Леонтовнч Е. А., Гордон Н. Н., Майер А. Г.
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.—М., 1967.
Б ей сон С. Основы химической кинетики. — М., 1964.
Березии И. В., Варфоломеев С. Д. Биокииетика. — М., 1979.
В а з о в В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1968.
В-асильев В. А., Романовский Ю. М., Яхио. В. Г. Автоволиовые процессы в распределенных кинетических системах//ФУН. — 1980.—Т. 128, вып. 4. — С. 626.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М., 1,Э73|.
Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. — Новосибирск, 1974.
Глёисдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, стабильности и флуктуаций. — М., 1973,.
Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. — М., 1974.
Иваиицкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизика клетки. — М., 1978.
Ни ко лис Ж., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.— М., 1979.
Пасыиский А. Г. Биофизическая химия.— М., 1968.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1975.
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чериавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. — М., 1975
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чериа^кий Д. С. Математическая биофизика.—М., 1984.
