Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве начальных условий следует принять усредненные на-
Будем для простоты считать, что внешние параметры не изменяются во времени и постоянны во всем объеме D. Это означает, что функции ft = fi(u) не зависят от t и х. Как и в случае точечных систем, важную роль играют стационарные, не изменяющиеся со временем решения задачи (1.8—1) —(1.8—3). Из условия обращения в ноль производных по времени для нахождения стационарных решений получаем задачу
Среди решений задачи (1.8—5) имеются стационарные решения
точечной системы: fi(u\, . . . , иг) =0, t = 1...г. Эти решения
не зависят от х. Но, кроме того, имеются неоднородные по пространству решения.
. Рассмотрим в качестве примера одно уравнение (/¦=!) с одной пространственной переменной; это значит, что реакция происходит в тонкой трубке длиной I:
Такое уравнение встречается также в некоторых моделях из популяционной генетики, экологии, теории возбудимых сред. Соответствующее точечное уравнение й = и(а—и) (и—Ь) имеет три положения равновесия: «1 = 0, Ыг = а, u3=b. Будем считать, что 0<а<6. Тогда точки «1 = 0 и и%=Ь устойчивы, а и2 = а — неустойчивое положение равновесия для точечной системы. Для стационарных решений задачи (1.8—6) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
Щ — fi {и, /), i 1,
(1.8-4)
чальные концентрации мг (0)
DMi (х) + h (Ui, ... ,ur)=0,
(1.8-5)
дп xedD
= 0, i=l, ... , г.
— = D-^— + и.{а—и) (и—Ь), 0<х</,
dt дх2
0)=-g-(*, /)=о.
дх dt
(1.8-6)
D-—f- + uCT(uCT—a)(b—uCT) = 0, 0 <*</, dx2
(1.8-7)
Ист (0) — Ыст (0 — 0.
Прежде всего мы имеем три стационарных решения, которые соответствуют положениям равновесия соответствующей точечной системы: «i = 0, и2=а, uz=b. Но при не очень маленьких I имеются еще неоднородные по пространству решения. Чтобы найти их, обозначим F(и) функцию, для которой F(u) =и(и—а) X
Х(6—и). Домножая уравнение (1.8—7) на -^?L и интегрируя
dx
по х, получаем
где с —^ произвольная постоянная. Решая последнее уравнение, получим соотношение
“сТ
"° у "5-(c-2f("))
которое определяет все решения уравнения (1.8—7). Постоянные
Uqyic опредляются из двух граничных условий(0) = (I) =
dx dx -
=0. Нетрудно доказать, что при / больших некоторого /о>0 эти граничные условия можно удовлетворить, и, следовательно, существует пространственно неоднородное решение задачи. С ростом длины нашего реактора I число различных стационарных решений возрастает. Как мы видим, даже в случае простейшей распределенной системы, описывающей эволюцию концентрации одного вещества в одномерном реакторе, мы имеем довольно сложную процедуру для нахождения стационарных решений. Конечно, для большого числа реагирующих веществ (или в случае реактора, протяженного на плоскости или в пространстве) задача нахождения стационарных решений еще более сложна. Как правило, ее можно решить только с помощью совместного использования качественных соображений и ЭВМ. Рассмотрим еще один пример распределенной системы:
-ZL = A + u*v-u(B+l) + Da^.,
dt дх2
(1.8-8)
-^-=Bu + u2v + D0-^-, f>0, xe(0, /).
dt ix2
Эта система, описывающая многостадийную химическую реакцию с диффузией, впервые была рассмотрена Тюрингом (1952) и изучена в работах Пригожина и его школы. Она дает модельное описание процессов, происходящих при дифференцировке тканей и морфогенезе.
Чтобы выделить единственное решение системы (1.8—8), необходимо задать начальные условия ы(0, x)=Uo(x), »(0, x) —v0(x)
и условия на границе отрезка (О, I). Если предположить, что реакция происходит в тонкой трубке с непроницаемыми торцами, то соответствующие условия на границе имеют вид
0) = 0)=-^—(*» 0=0.
дх дх дх дх
Одно стационарное решение системы (1.8—8), являющееся положением равновесия соответствующей точечной системы, найти просто. Для этого нужно приравнять нулю правые части соответствующей точечной системы:
A + u2v—ы(В+1)=0,
Ви—и2и = 0.
Отсюда и = А, v=----------пространственно однородное стацио*
Л
нарное решение системы (1.8—8). Сложнее найти пространственно неоднородные стационарные решения задачи (1.8—8). Эти решения находятся из системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
Du-^ + A + u*v-u(B+ 1) = 0, -^(0) = -^-(0 = 0,
dx2 dx dx
(1.8-9)
D ^?_-+Bu—iA> = 0, — (0) = — (0 = 0.
°dx* dx dx
